サイクルキャンセルアルゴリズムの負のサイクルを見つける

最小コストのフロー問題の最適なソリューションを見つけるために、サイクルキャンセリングアルゴリズムを実装しています。残余ネットワークで負のコストサイクルを見つけて削除することにより、各ラウンドの総コストが削減されます。負のサイクルを見つけるために、私はベルマンフォードアルゴリズムを使用しています。

私の問題は、Bellman-fordはソースから到達可能なサイクルのみを検出しますが、到達不可能なサイクルも検出する必要があります。

例：次のネットワークでは、すでに最大フローを適用しています。エッジ$(A, B)$は非常に高価になります。残余ネットワークでは、容量負のコストサイクルがあります$1$。これを削除すると、エッジとを使用した安価なソリューションが得られますが、ソースからは到達できません。（C 、T ）$(A, C)$$(C, T)$$S$

ラベル：フロー/容量、コスト

もちろん、各ノードをソースとしてベルマンフォードを繰り返し実行することもできますが、それは良い解決策のようには思えません。私が読んだすべての論文がこのステップをスキップしているように見えるので、私は少し混乱しています。

ベルマンフォードを使用して、すべての負のサイクル（到達可能かどうか）を見つける方法を教えていただけますか？そしてそれが不可能な場合、他にどのアルゴリズムを提案しますか？

私のコメントを拡張すると、Min-Cost-Flowを見つけるためのこのアルゴリズムは、が最大であるという事実に依存していることを覚えておいてください。最初にFord-Fulkersonを実行してfと結果の残余ネットワークG fを見つけることにより、G fの負のサイクルを見つけることでコストfが削減されます。これは、負のサイクルを見つけることによって、あるG fは、我々は流れの量、変化しませんF、単にコストを。$f$$f$$G_f$$f$$G_f$$G_f$$f$

ここで、G fのからBellman-Fordを実行することにより、（G fの定義により）負でないフローを持つエッジを逆方向にトレースできます。サイクルがこれらのパスのいずれかのエッジに隣接している場合、サイクル内の他のエッジにある程度の流れを「転送」できます。つまり、一部のサイクルのネットフローを同じに保ちますが、コストを変更できます。$t$$G_f$$G_f$

から到達できないサイクルにはゼロフローが必要であることに注意してください。そうでなければ、fが最大であることには矛盾があります。$t$$f$

^{この説明の「手の波状」をお詫び申し上げます。今夜は時間があるときにもっとフォーマルになるように努力します。}

私の提案：残余ネットワークで負のサイクルを見つけるには、アルゴリズムをTから開始する必要があります。結果は同じになるはずですが、その後サークルに到達できます

TまたはSからBellman-Fordを実行するだけでは不十分だと思います。SからTへのエッジが1つあり、SとTのどちらからも達成できない負のコストサイクルが1つある例を考えてみます。

1つの解決策は、補助S 'を追加し、コストが0のS'から他の頂点にエッジを追加することです。次に、S 'からBellman-Fordを実行します。このようにして、すべての負のサイクルはS 'から到達可能です。

さらに、実装に補助頂点S 'を追加する必要はありません。頂点vに対してd（v）= 0を初期化するだけです。

Boost Graph Libraryがどのように実装するかをご覧ください。