ブール変数の真のiff方程式がILPで満たされている

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仮定すると $y$ ILPプログラムでブーリアン変数である（すなわち $y \in Z$ 、STと）、 $0 <= y <= 1$ $x_1$ $x_2$ 間変数整数囲まれる $0$ 及び $M$ 。次の高レベルの制約をエンコードします。

y = 1 ⟺ x_{1} \leq x_{2}

$y = 1 \iff x_1 \le x_2$

これまでのところ私はこれを持っています：

x_{1} \leq x_{2} + (M + 1) y

$x_1 \le x_2 + (M+1)y$

これにより、がtrueの場合は常に、はなければならず、そうでないと方程式が成立しません。しかし、、何も制限されない、従って、いずれかの可能性がまたは。 $x_1 > x_2$ $y$ $1$ $x_1 \le x_2$ $y$ $0$ $1$

制約をエンコードするために、他にどのような方程式を追加できますか？

integer-programming

— セッツァー22
ソース

cs.stackexchange.com/q/104990/755

— DW

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これを行うには、2つの不等式を導入します

{バツ}_{1} \leq {バツ}_{2} + M （ 1 - y ）

$x_1 \le x_2 + M (1-y)$

そして

{バツ}_{1} > {バツ}_{2} - M y 。

$x_1 > x_2 - M y.$

前者は要件エンコードします（あなたがいる場合ことを確認することができ、その後、項は消え;場合は、その後、巨大な何かになり、不平等は自動的に満たされています）。後者は要件エンコードします $y=1 \implies x_1 \le x_2$ $y=1$ $M(1-y)$ $y=0$ $M(1-y)$ （同様の理由による）。 $y=0 \implies x_1 > x_2$

うまくいけば、これにより、他の種類の影響が発生した場合にどのように処理するかについてのアイデアが得られます。基本的には、何か大きなものを掛けて、それをどこかに足す/引く。

— DW
ソース

5

定数を追加してから、次の制約を追加できます。 $0<A<M$

あ - y （ あ + M ） ⩽ {バツ}_{1} - {バツ}_{2} ⩽ M （ 1 - y ） 。

$A-y(A+M)\leqslant x_1-x_2\leqslant M(1-y).$

場合、 $y=1$

と言った。

- M ⩽ {バツ}_{1} - {バツ}_{2} ⩽ 0 、

$-M\leqslant x_1-x_2\leqslant 0,$

x_{1} ⩽ x_{2}

$x_1\leqslant x_2$

場合は、 $y=0$

と言う（以降）。

あ ⩽ {バツ}_{1} - {バツ}_{2} ⩽ M 、

$A\leqslant x_1-x_2\leqslant M,$

x_{1} > x_{2}

$x_1>x_2$

0 < A < M

$0<A<M$

— リブズ
ソース

3

インジケーター制約とSOS制約を調べます。他の回答で説明されているように、ターゲットの関係を直線的に定義できますが、IPソルバーによって特別な制約をより効率的に処理できます。

他の回答で説明されているように制約を直接実装する場合は、可能な限り最小のMを使用して、結果が正しくない場合は積分許容誤差を下げることを検討してください。また、厳密な不等式は避けてください。浮動小数点演算のコンテキストではあいまいです。

インジケーター制約の使用：

$x_1\le x_2 \leftarrow y=1$

$x_2\ge x_1 +1\leftarrow y=0$

第2の制約は同等です、あなたがしたい場合は、整数の単に1をドロップします。 $x_2>x_1$ $x_2\ge x_1$

— セプティマスG
ソース

役立つ提案をありがとう！この特定の状況でSOS制約がどのように役立つ/役立つかについて詳しく説明できますか？

— DW

インジケーター制約の例を追加しました。SOSの場合はより複雑であり、追加の変数を導入する必要があるため、それらを使用してもあまり効果が得られない可能性があります。ここで注意しなければならない唯一の側面は、他の人が提案した公式を使用して発生する可能性のある数値的な問題と、それらを緩和する方法です。インジケーター制約付きのソルバーにアクセスできる場合は、ソルバーが直接分岐するか、big-M値を動的に変更できるため、そのように試してください。

— Septimus G