チューリング機械の停止に相当する数学的推測

この問題は、すべての数学的定理を単一のチューリング機械が停止するかどうかの問題に還元できるかどうかについてです。特に、現在証明されていない推測に興味があります。

例：ウィキペディアによれば、奇妙な完全数があるかどうかは現在不明です。与えられた数値が完全であるかどうかは決定可能であるため、奇数を順番にチェックし、完全な数値が見つかると停止するチューリングマシンを作成できます。（このチューリングマシンは入力を受け取りません。）そのチューリングマシンが停止するかどうかがわかっていれば、予想が正しいかどうかがわかります。逆もまた同様です。

しかし、別の例として、双子の素数の予想はどうですか？与えられた数が双子ペアの最初の素数であるかどうかは決定可能ですが、この場合、問題は無限数があるかどうかに関するものであるため、最初の数が見つかったときに停止することはできません。ツインプライム予想が真である場合にのみ停止するチューリングマシンを作成できるかどうかは、私にはわかりません。

ペア素数算術またはその他の正式なシステム内で双子素数予想が証明可能な場合にのみ停止するチューリングマシンを作成することはできますが、これは別の問題です。

だから私の質問は

• ツインプライム予想が真である場合にのみ停止するチューリングマシンを作成することは可能ですか？（もしそうなら、どうですか？）
• 一般に、与えられた数学的な記述が真である場合にのみ停止するチューリングマシンを作ることは可能ですか？このチューリングマシンは、正式なステートメントからアルゴリズムで構築できますか？
• 一般的に不可能である場合、数学的なステートメントを単一のチューリングマシンの停止、またはオラクルを備えたチューリングマシンなどに相当するものに分類する方法はありますか？もしそうなら、この分類は与えられたステートメントで決定可能ですか？

$\Sigma_1$$\Sigma_1$$\Pi_2$

$\phi$

1. $\phi$
2. $\phi$

この構成が有効であることを確認するには、ステートメントの論理形式を検討してください。

$\Phi$$\phi \in \Phi$$\phi$

$\Sigma_1$

$f(1)=2$$f(2)=4$$f(n+1)=f(n)!$$n \geq 2$$n$$\Theta_n$

$x_1,\ldots,x_n$$1$$(x_1,\ldots,x_n)$Θ 1、... 、Θ $\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$$\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

ステートメントは、その意味を証明しますより大きい双子素数が存在する場合、無限に多くの双子素数があります。Aによるこの論文を参照してください。Tyszka（セットの無限ようにで存在に相当するの定義を用いて計算された閾値数よりも大きい要素の） F （16 ）+ 3 W ⊆ N W W W$\Theta_{16}$$f(16)+3$$W \subseteq \mathbb{N}$$W$$W$$W$

つまり、ステートメント前提として、への単一のクエリが双子の素問題を決定します。 0 $\Theta_{16}$$0'$