チューリングマシンは「定義上」最も強力なマシンですか？

チューリングマシンが「可能なすべての数学的問題」を実行できることに同意します。しかし、それはアルゴリズムの単なるマシン表現であるためです。最初にこれを行い、次にそれを行い、最後にそれを出力します。

解けるものはすべてアルゴリズムで表すことができるということです（正確には「解ける」の定義だからです）。それは単なるトートロジーです。ここで新しいことは何も言わなかった。

また、アルゴリズムのマシン表現を作成することにより、すべての可能な問題を解決することも新しいことではありません。これも単なるトートロジーです。基本的に、チューリングマシンが最も強力なマシンであると言われるとき、それが効果的に意味するのは、最も強力なマシンが最も強力なマシンであることです！

「最も強力な」の定義：任意の言語を受け入れることができるもの。
「アルゴリズム」の定義：何でもするためのプロセス。「アルゴリズム」のマシン表現：​​何でもできるマシン。

したがって、アルゴリズムのマシン表現が最も強力なマシンになることは論理的です。アラン・チューリングが私たちに与えた新しいものは何ですか？

チューリングマシンが「可能なすべての数学的問題」を実行できることに同意します。

それは真実ではないので、そうすべきではありません。たとえば、チューリングマシンは、整数係数を持つ多項式に整数解があるかどうかを判断できません（ヒルベルトの10番目の問題）。

チューリングマシンは「定義上」最も強力なマシンですか？

いいえ。より強力なマシンの無限の階層を考え出すことができます。ただし、チューリングマシンは、少なくとも原則として、構築方法を知っている最も強力なマシンです。ただし、これは定義ではありません。より強力なものを構築する方法が分からない、またはそれが可能かどうかはわかりません。

アラン・チューリングが私たちに与えた新しいものは何ですか？

アルゴリズムの正式な定義。このような定義（チューリングマシンなど）がなければ、「何かを解くための有限に指定された手順」の行に沿ったアルゴリズムの非公式の定義しかありません。いいですね しかし、これらの手順はどのような個別のステップで実行できますか

基本的な算術演算ステップはありますか？曲線の勾配を見つけることはステップですか？多項式の根を見つけることはステップですか？多項式の整数根を見つけることはステップですか？それらのそれぞれは、ほぼ自然と思われます。ただし、すべてを許可すると、「有限指定手順」はチューリングマシンよりも強力になります。つまり、アルゴリズムでは解決できないことを解決できます。最後のものを除いてすべてを許可する場合、チューリング計算の領域内にあります。

アルゴリズムの正式な定義がなければ、これらの質問をすることすらできません。私たちは、アルゴリズムが何を知っているだろうので、我々は、アルゴリズムが何ができるかを議論することはできませんです。

これまたはそれが「単なるトートロジー」であるということについて繰り返し発言するとき、あなたは正しくありません。それで、あなたの主張を少し歴史的な文脈に入れさせてください。

まず、使用する概念を正確にする必要があります。問題は何ですか？アルゴリズムとは何ですか？機械とは何ですか？これらは明白だと思うかもしれませんが、1920年代と1930年代の大部分は、これらのことを理解しようとする論理学者によって費やされました。いくつかの提案がありましたが、そのうちの1つがチューリングマシンで、これが最も成功しました。後に、他の提案はチューリング機械と同等であることが判明しました。「コンピューター」という言葉が機械ではなく人を意味する時代を想像する必要があります。あなたは、波に乗っているだけで、百年前の素晴らしい頭脳による素晴らしい発明の結果を、気付かないうちに。

チューリングマシンは、状態、ヘッド、作業テープの観点から具体的に説明されています。これが私たちが住んでいる宇宙の計算の可能性を使い果たすことは明らかではありません。電気、水、または量子現象を使用して、より強力な機械を作ることはできませんか？チューリングマシンを適切な速度と方向でブラックホールに飛ばし、有限の時間に無限に多くのステップを実行できるようにしたらどうでしょうか。「明らかにそうではない」と言うことはできません。最初に一般相対性理論で計算を行う必要があります。そして、物理学者が並列宇宙を通信および制御する方法を見つけて、並列時間で無限に多くのチューリングマシンを実行できるようにしたらどうでしょうか。

現時点ではこれらのことができないことは問題ではありません。ただし、重要なのは、チューリングが物理的に可能なことについて考えなければならなかったことを理解することです （当時の物理学の知識に基づいて）。彼は「単なるトートロジー」を書き留めただけではありません。それとは程遠い、非公式な意味で計算の意味を慎重に分析し、公式モデルを提案し、このモデルが「計算」によって理解されたものを取り込むと非常に慎重に主張し、重要な定理を導き出しました。これらの定理の1つは、チューリングマシンがすべての数学的な問題を解決できないことを示しています（あなたの誤った声明の1つに反して）。このすべては、彼が学生だったときに夏休み中に書かれた単一の紙に書かれていた。した近代的な汎用コンピュータのアイデアを発明。その後は、エンジニアリングの簡単な問題に過ぎませんでした。

それは、チューリングが単なるトートロジーを超えて人類に貢献したものに答えますか？そして、あなたは彼の論文を実際に読みましたか？

「解けるものはすべてアルゴリズムで表すことができる」ということはまったく明らかではありません。

これは、アロンツォ教会のアイデアを作り直したアラン・チューリングが、あなたが言及している機械の形をとった計算可能な数の定義を提案して以来、激しい議論の対象でした。重要なのは、当時、この種のことに取り組んでいるのは彼らだけではなかった。

「計算できるもの」は明らかに正確な数学的対象ではなく、その構造と範囲は非推測的な方法で研究できるため、私たちはまだそれを論文または推測と呼んでいます。

まず、ない物理的に実現可能な任意のタイプのコンピュータのモデルとしてではなく、むしろによって計算可能であるものに理想的な限界としてチューリングマシンが最初にチューリングによって考案されたことを心に留めておくことが重要である人間のステップバイステップの機械で計算します方法（直観の使用なし）。この点は広く誤解されています。このトピックおよび関連トピックに関する優れた説明については、[1]を参照してください。

チューリングがチューリング機械のために仮定した有限性の制限は、人間の感覚器の仮定された制限に基づいています。物理的に実現可能なコンピューティングデバイス（および類似のチャーチチューリングテーゼ）へのチューリングの分析の一般化は、物理法則に基づく制限のあるロビンガンディのせいでずっと後（1980年）まで行われませんでした。Odifreddiがpで述べているように。[2]の51（古典的再帰理論の聖書）

チューリングマシンは理論上のデバイスですが、物理的な制限に注意して設計されています。特に、モデルの制限には次のものが含まれています。

• （a）ATOMISM。マシンの任意の構成で（有限システムとして）コーディングできる情報の量が制限されていることを確認します。そして

• （b）距離にあるアクションを除外し、局所的な相互作用を通じて因果効果を伝播させることによる、関連性。Gandy [1980]は、チューリングマシンの概念が、正確な意味で、同様の制限を満たす任意のコンピューティングデバイスを包含するのに十分一般的であることを示しました。

およびp。107：（離散的な決定論的デバイスの一般理論）

分析（Church [1957]、Kolmogorov and Uspenskii [1958]、Gandy [1980]）は、原子論と相対性の仮定から始まります。前者は、物質の構造を制限された次元の基本粒子の有限セットに縮小し、したがって、基本構成要素のセットに機械を分解する理論的可能性を正当化します。後者は、因果変化の伝播速度に上限（光の速度）を課し、したがって、空間Vの境界領域で瞬間tに生成される因果効果を、領域によって生成されるアクションに減らす理論的可能性を正当化します。その点は、ある点Vから距離c * tの範囲内にあります。もちろん、仮定は、連続的なシステム、または距離に制限のないアクションを許可するシステム（ニュートン重力システムなど）を考慮しません。

Gandyの分析は、その可能性のある構成の複雑さに固定された境界を持つすべてのデバイスに対して、行動が再帰的であることを示しています（構成要素からの概念構築のレベルと、そして、固定された有限のローカルおよびグローバルアクションの決定の決定的セット（前者は構造化されたパーツに対するアクションの効果を決定する方法を、後者はローカルエフェクトをどのように組み立てるか）。さらに、分析は、正確にすると条件の緩和がすべての動作と互換性を持つという意味で最適であり、したがって、再帰動作の十分かつ必要な説明を提供します。

Gandyの分析は、チューリングマシンのパワーと制限に関する非常に明確な視点を提供します。これらの問題に関するさらなる洞察を得るのは価値のある読書です。ただし、Gandyの1980年の論文[3]は、認知機能によっても難しいと見なされていることに注意してください。J. ShepherdsonとA. Makowskyによる[4]の論文を最初に熟読しておくと役立つかもしれません。

[1]ジーク、ウィルフリード。機械的な手順と数学的経験。[pp。71--117数学と心。1991年4月5〜7日、マサチューセッツ州アマーストのアマースト大学で開催された数学の哲学に関する会議の論文。アレクサンダージョージ編集。ロジック計算 Philos。、オックスフォード大学 Press、New York、1994。ISBN：0-19-507929-9 MR 96m：00006（校閲者：Stewart Shapiro）00A30（01A60 03A05 03D20）

[2] Odifreddi、Piergiorgio。古典的な再帰理論。 関数と自然数のセットの理論。GEサックスによる序文付き。論理と数学の基礎の研究、125。ノースホランド出版社、アムステルダム-ニューヨーク、1989年。xviii+ 668ページ。ISBN：0-444-87295-7 MR 90d：03072 ）03Dxx（03-02 03E15 03E45 03F30 68Q05）

[3]ガンディ、ロビン。教会の論文とメカニズムの原則。 クリーネシンポジウム。1978年6月18日から24日、ウィスコンシン州マディソンのウィスコンシン大学で開催されたシンポジウムの議事録。論理と数学の基礎の研究、101。North-HollandPublishing Co.、Amsterdam-New York、1980。xx + 425 pp。ISBN：0-444-85345-6 MR 82h：03036（レビュアー：Douglas Cenzer）03D10 （03A05）

[4] 汎用チューリングマシン：半世紀の調査。第二版。 ロルフ・ヘルケン編集。Computerkultur [コンピューター文化]、II。Springer-Verlag、ウィーン、1995。xvi+ 611 pp。ISBN：3-211-82637-8 MR 96j：03005 03-06（01A60 03D10 03D15 68-06）

私が今まで読んだこの質問で最も人気のある議論は、MIT教授のScott Aaronsonのエッセイだ。、特にスーパーチューリングマシン、スーパーデュパーチューリングマシン、スーパーデュパーポーパーチューリングマシンの意味を探っています。

いいえ、TMは最も強力ではありません。2つの例：

a）TMと同じ結果を計算するがアルゴリズム的に高速な他のマシン（たとえば、素因数を計算する量子コンピューター）が存在する可能性があります。「より速く」は力の一種です。

b）TMは、完全な精度で一般的な実数を表すことはできません。ただし、アナログコンピューター（AC）は、実数を完全な精度で表現し、算術演算を実行できる場合があります。これは、どのTMよりも強力です。

もちろん（b）宇宙には、ACが実数値を表現するために使用できる連続的な特性（重力？）が必要です。たぶん、重力を含むすべての物理的特性が量子化されます。しかし、連続した宇宙のマシンについて推測することはできます。したがって、TMは「定義上」最も強力ではありません。

計算の複雑さを見ると、Turing Machineは最も強力なマシンです。メモリが無制限であり、実際のマシンにはないためです。実際のマシンでは、任意のサイズの問題を解決することはできません。彼らは問題を読むことすらできず、それを解決することはできません。

一方、実際のチューリングマシンを実装しようとした場合、たとえばテープがなくなると停止し、アラームが鳴るという条件で、あらゆる種類の計算を行うにはさらに多くの手順が必要になることがわかります安い携帯電話で実際のマシンを例にとると、実際の問題を解決するのははるかに遅くなります。また、テープに回答を書き込むことは、非常に優れたユーザーインターフェイスではないこともわかります。また、多くの人が問題を解決するためではなく、友人にヌード写真を送信したり、猫のビデオを見たりするためにコンピューターを使用していることがわかります。