ドメイン理論と多態性

ドメイン理論は、単純型が存在する場合の計算能力の驚くべき理論を提供します。しかし、パラメトリックなポリモーフィズムが追加されると、ドメイン理論が単純な型に対する計算を説明するのと同じくらいうまくいくことを説明する素晴らしい理論はありません。確かに、System-Fのセット理論モデルが存在しないため、System-Fにそのようなものが存在するとは思いません。予測があり、ユニバース階層があるSystem-Fの制限はどうですか？これは研究されましたか？それに適用される素晴らしいドメイン理論はありますか？依存型についてはどうですか？領域理論をどうにかして弱い$\omega$ -groupoids と混合して何かを達成することができますか？

ドメイン理論を介してポリモーフィズムをモデル化する方法はたくさんあります。理解しやすい方法を説明して、自分で考えてみましょう。「PERモデル」です。

型なしのいずれかのモデル取るドメイン、例えば、-calculusをDようにD → Dでの後退であるD（例えば、テイクDようにD ≅ N ⊥ × （D → Dを））。ましょうΛ ：D → （D → D ）およびΓ ：（D → D ）→ Dそれぞれこと引き込みおよびセクション。$\lambda$$D$$D \to D$$D$$D$$D \cong \mathbb{N}_\bot \times (D \to D))$$\Lambda : D \to (D \to D)$$\Gamma : (D \to D) \to D$

$D$$\tau$$\sim_\tau$$x \sim_\tau x$$x$$\tau$$x \sim_\tau y$$x$$y$$\tau$

$\mathbb{N}_\bot$$D$$\iota : \mathbb{N} \to D$$\sim_\mathtt{nat}$

$$x \sim_\mathtt{nat} y \iff \exists n \in \mathbb{N} . x = \iota(n) = y.$$

$\sim_\tau$$\sim_\sigma$ $\sim_{\tau \to \sigma}$

$$x \sim_{\tau \to \sigma} y \iff \forall z, w \in D . z \sim_\tau w \Rightarrow \Lambda(x)(z) \sim_\sigma \Lambda(y)(w)$$

$\lambda$$D$

$$x \sim_{\forall X. \tau(X)} y \iff \text{for all PERs $\approx$, $x \sim_{\tau(\approx)} y$}.$$ $\forall X. X$$\forall X . X \to X$$\forall X . X \to X \to X$

$\bot_D$$\approx$

• $\bot_D \approx \bot_D$
• $x_0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots$$y_0 \leq y_1 \leq y_2 \leq \cdots$$D$$x_i \approx y_i$$i$$\sup_i x_i \approx \sup_i y_i$

解釈できるようになりました。これは、通常のドメイン理論で行うように、固定小数点の存在に関するKanster-Tarskiの定理を適用することによって実現できます。今回は、は正確に含んでいるため、空ではありません。∀X。X ⊥ $\mathtt{fix}_{\tau} : (\tau \to \tau) \to \tau$$\forall X . X$$\bot_D$

Roy Croleは、彼の本のCategories for Types、特にセクション5.6で、ドメイン理論を使用して型多型をモデル化する方法についての素晴らしい説明をしています。