正式な言語を使用して数学表記を研究できますか？

質問：最適な表記法の研究にそれをどのように適用するかを論じる正式言語またはプログラミング言語理論の紹介テキストはありますか？

特に、スタック言語、解析ツリー、インデックスとは何か、そして特定のタイプの表記法が指数関数的な冗長性につながる時期を予測する方法に興味があります。

数学の専攻として私が学んだ唯一のコンピュータサイエンスは、アルゴリズムとグラフ理論、および複雑さの理論とブール関数の非常に控えめな中級者でした。したがって、これを論じている唯一の本が入門書ではない場合、指数表記の爆発を論じているそのような本と、私の質問に直接取り組む本を準備する入門書をリストした回答の両方に感謝します。

コンテキスト：この質問は、主にPhysics.SEへの回答に触発されており、次のように述べています。

括弧はスタック言語（Chomskyの分類では文脈自由文法）によって解析されるので、括弧はスタックを使用して解析できないため、テンソルインデックスの縮約を再現する括弧表記がないことを（厳密に）証明するのは非常に簡単です。グラフ。括弧は構文解析ツリーを生成し、グラフ内には常に指数関数的に多くの最大ツリーがあるため、表記には指数関数的な冗長性があります。

残りの回答では、「指数表記の爆発」の他の例について、たとえば計算生物学のペトリネットを使用して説明します。

たとえば、ここで言及されているように、関数と引数に適用される関数が明確に区別されていない場合、数学表記が解析しにくい他の例もあります。この関数は、引数になり、引数は、たとえば、関数となる場合には特に混乱になることができ、ここで。

1. 正式な言語理論は、言語のセマンティクスには関係しません。私たちは言語を何かを伝えるためのメカニズムと考える傾向があるので、それは奇妙に思えるかもしれませんが、それについて考えると、言語を理解する実際には2つのレベルがあります：言語はストリームである表面レベル語彙素、および表面表現から多かれ少なかれ分離された基礎となる表示レベル。（ChomskyはCFGのいくつかの制限を回避するために中間の「変換」レベルを提案しましたが、ここでは関係ありません。）したがって、異なる言語で「同じこと」を言うことは可能です。チョムスキーはワーフィアンではありません。（簡単な概要についてはWikipediaを参照してください）。

2. それにもかかわらず、文脈自由文法は、正しい発話と正しくない発話を区別するには十分ではありません。Chomskyは古典的な例を提供しました：無色のアイデアは猛烈に眠ります（彼は間違ってつづり、USianです）。再びウィキペディアを参照してください。（残念ながらウィキペディアにはカナダ英語版がありません。）構文エラーと意味エラーを正確に区別することは不可能ではないにしても難しいので、CSの分野ではこのトピックについてかなりの議論がありましたが、ここでは説明しません。私はいつもトラブルに巻き込まれるので、ここで議論しようとさえします。ただし、多くの人間の言語に存在する1つの古典的な文法規則、名詞/動詞の一致を特定できます。同意しない$S \to NP_{sing} VP_{sing} | NP_{plural} VP_{plural}$、しかし、より複雑な合意規則（たとえば、性別）を使用すると、列挙が言語で手に負えなくなることは簡単にわかります。

3. $NP$$S \to NP_X VP_X$$X$

4. それがまさにテンソル指数の縮約の問題です。テンソルインデックスの縮約は、インデックス変数の使用に特定の要件を課します。インデックス変数は、厳密に2回使用する必要があります。その場合、左側に配置することはできません。ハンドサイド。（私は物理学者ではないので、インデックス変数を正確に2回表示する必要があると言ってしまいがちですが、自由変数とプレースホルダー変数には意味上の違いがあります。これは、式。）ここでは、インデックス変数の単純な有限コレクションはなく、使用されるプレースホルダーの数に制限はありません。さらに、新しい名前が式の他の場所で使用されていなければ、プレースホルダーの名前を変更してもセマンティクスには影響しません。

5. 前の例のように、文脈自由文法は文脈の一致を捕捉できないという主張を厳密に証明することは実際に可能です。それは引用された主張が主張していることと関係があると思います。あなたがどれほど素晴らしくてかによっては、もっと学ぶのは興味深いかもしれませんが、あなたが求めていると思われる哲学的または物理的な洞察に特に関連することになるとは思いません。

6. 数学的表記での不幸な表面形態に関する他のリンクされた記事は、単なる逸話です。私の知る限りでは、ある人の魚が別の人のポイズンであるという有名なジョークがロマンスの言語学について漠然と洞察していないように、それらのどれも、正式な言語理論に関連する深いまたは表面的なポイントを作成していませんおかしい（IMO）。