K平均法クラスタリング変換不変条件は何ですか？

データポイントのセット$X = \{x_1, x_2, \ldots, x_m\}$が与えられた場合、で K平均を実行し、クラスター。 X C 1、C 2、... 、Cの$x_i \in \mathbb{R}^d$$X$$c_1, c_2, \ldots, c_k$

ここで、新しいデータセットを作成すると$Y = \{y_1, y_2, \ldots, y_m\}$、およびあり、 K平均を実行してクラスターを取得します。。Y I ∈ R D Y G 1、G 2、··· G $y_i = Ax_i + b$$y_i \in \mathbb{R}^d$$Y$$g_1, g_2, \ldots g_k$

$A$とbのどの条件下で$b$、同じクラスターを取得することが保証されますか？

K平均がユークリッド距離を使用しており、両方のアルゴリズムで同じ初期条件を持っていると仮定します。つまり、Xの初期中心が場合、Yの初期中心はここで、です。 g 0 1、… 、g 0 k g 0 i = A c 0 i + $c^0_1, \ldots, c^0_k$$g^0_1, \ldots, g^0_k$$g^0_i = Ac^0_i + b$

これまでのところ、はフルランクでなければならず、は任意のベクトルにすることができると考えてきました。しかし、それを証明することはできませんでした。$A$$b$

答えはあなたのK-meansアルゴリズムに依存しますが、以下は標準的なアルゴリズムでうまくいくはずです。

変換が2つの条件を満たす場合、同じ結果が得られます。$T$

1. $d(z,w) = d(T(z),T(w))$$d$$d(z,w) = \|z-w\|$
2. 平均を保持します。が、凸の組み合わせである場合。$\sum_i p_i z_i$$T(\sum_i p_i z_i) = \sum_i p_i T(z_i)$

これを確認するには、アルゴリズムを見直し、常に同じ選択を行うことを示します。