Insert、Delete、MostFrequentをサポートする効率的なデータ構造

セットあり、各メンバーがデータとキーのペアであると仮定します。次の操作をサポートするデータ構造が必要です。$D$$D$

• にを挿入し、$(d,k)$$D$
• メンバー削除します（を見つけるために検索する必要はありません。たとえば、はメンバーを指します）。e e $e$$e$$e$$D$
• MostFrequentは、が最も頻度の高いキーの1つであるようなメンバーを返します（最も頻度の高いキーは一意である必要はありません）。E 。k e y $e \in D$$e.key$$D$

このデータ構造の効率的な実装は何でしょうか？

私の解決策は、キーとその周波数によって優先順位付けされた周波数のヒープと、ハッシュ関数が同じキーを持つメンバーをハッシュテーブルの同じスロットにマップするハッシュテーブルです（各部分から他へのポインターを使用）。

これにより、最初の2つの操作にが、3番目の操作（最悪の場合の実行時間）にられます。Θ （1 $\Theta(\lg n)$$\Theta(1)$

より効率的な解決策があるのだろうか？（または同じ効率のよりシンプルなソリューション？）

比較ベースの計算モデルでは、通常のヒープの代わりにフィボナッチヒープを使用して優先度キューを実装できます。これにより、 挿入の償却時間とO（log n ）の削除操作の償却時間の境界が与えられます。$\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(\log n)$

比較ベースのモデルから離れ、キーがバイナリ文字列とみなされるRAMモデルを採用する場合、それぞれが1つ以上のマシンワードに含まれる場合、優先キューを実装できます。確かに、挿入操作と削除操作の両方で達成できますO（$o(\log n)$およびfindMin操作のO（1）時間。ソープはそれを証明しました$\mathcal{O}(\sqrt{\log \log n})$$\mathcal{O}(1)$

キーごとに時間S （n ）でキーをソートできる場合、一定時間でfind-minをサポートし、S （n ）時間で更新（挿入および削除）をサポートする優先度キューを実装できます。$n$$S(n)$$S(n)$

M. Thorupを参照してください。優先度キューとソートの等価性、2002年。Proc。FOCS 2002

我々はに並べ替えることができますので、示される予想時間と線形空間$\mathcal{O}(n \sqrt{\log \log n})$

Y.ハンとM.ソーラップ。整数でソート予想される時間と線形空間。Procで。FOCS 2002$\mathcal{O}(n \sqrt{\log \log n})$

限界が証明されています。

予想償却時間でこれらすべてを実行できます。重要なトリックは、優先度キューの全能力を必要としないことです。なぜなら、キーの頻度は、挿入または削除のたびに1だけ変化するからです。$O(1)$

私の以下のソリューションは、実際にはこのケースでうまく機能する「非効率的な」優先度キューを備えたソリューションです。キーのバケットの二重リンクリストとして実装された最大優先度キューは、O（1） incrementKey。

バケットの二重リンクリストを保持します。各バケットには、空ではないキーのハッシュセット（コホートと呼びます）と正の整数（私はValCountと呼びます）があります。バケットbでは、bのコホート内の各キーkには、保持しているセット内のそれに関連付けられた同じ数の一意の値があります。たとえば、セットにペア（a、apple）、（a、avocado）、（b、banana）、（c、cucumber）、（d、dragon fruit）があり、1文字がキーで、果物が値の場合、2つのバケットがあります。1つのバケットには2のValCountと、1つのキーのみで構成されるコホートがあります。もう1つのバケットのValCountは1で、3つのキーb、c、およびdで構成されるコホートがあります。

バケットの二重リンクリストは、ValCountによって順序付けられたままにする必要があります。時間でリストの先頭と末尾を見つけることができ、その隣人がわかっている場合はO （1 ）時間で新しいバケットに接続できることが重要です。想像を絶するように、バケットのリストをBucketListと呼びます。$O(1)$$O(1)$

BucketListに加えて、SetMapが必要です。これは、キーをValueBucketsにマッピングするハッシュマップです。ValueBucketは、ValueSet（値の空でないハッシュセット）とバケットへのnull以外のポインターで構成されるペアです。キーkに関連付けられたValueSetには、kに関連付けられたすべての一意の値が含まれます。ValueSetに関連付けられたバケットポインターには、ValueSetのサイズに等しいコホートがあります。SetMapのキーkに関連付けられているBucketは、BucketListのキーkにも関連付けられています。

C ++の場合：

struct Bucket {
    unsigned ValCount;
    unordered_set<Key> Cohort;
    Bucket * heavier;
    Bucket * lighter;
};
Bucket * BucketListHead;
Bucket * BucketListTail;

struct ValueBucket {
  unordered_set<Value> ValueSet;
  Bucket * bucket;
};
unordered_map<Key, ValueBucket> SetMap;

最大頻度のキーと値のペアを見つけるには、BucketListの先頭を見て、Cohortでキーを見つけ、SetMapでそのキーを探し、ValueBucketのValueSetで値を見つけるだけです。（ふう！）

キーと値のペアの挿入と削除はより複雑です。

キーと値のペアを挿入または削除するには、まずSetMapに挿入または削除します。これにより、ValueSetのサイズが変更されるため、キーに関連付けられたバケットを変更する必要があります。この変更を行うために見る必要があるバケットは、キーが使用されていたバケットのすぐ隣になります。ここにはいくつかのケースがあり、完全に説明する価値はありません。まだ問題がある場合は詳しく説明します。

最悪の複雑さ

$\mathcal{O}(1)$

$\mathcal{O}(1)$

$\mathcal{O}(1)$

$\mathcal{O}(\log \log n)$

$\mathcal{O}(n)$

証明

$[0 , N )$ $\mathrm{\mathcal{O}(log\ log\ min \{n, N\})}$時間。

次の組み合わせで確立されます。

$\tau(n, N)$ $n$$[0 , N)$ $\tau ( n, N ) \le τ ( N, N)$$\tau$

そして：

$n$$[0 , N)$$\mathrm{\mathcal{O}(1 + log\ log\ n − log\ log\ q)}$$q$。

参照

ソラップ、ミケル。「一定時間でキーを減らす整数優先度キューと単一ソースの最短パス問題」。第35回コンピューティング理論に関するACMシンポジウムの議事録、149–158。STOC '03。ニューヨーク、ニューヨーク、アメリカ：ACM、2003。