最大フローを2部マッチングに削減しますか？

最大の2部マッチング問題からmax-flow問題への有名で洗練された削減があります。ソースノード、ターミナルノード、およびマッチングする各アイテムに対して1つのノードでネットワークを作成し、適切なエッジを追加します。$s$$t$

多項式時間で最大フローを最大二部マッチングに削減する方法は確かにあります。これらは両方とも多項式時間で個別に解決できるためです。ただし、最大フロー（一般的なグラフ）から最大2部マッチングへの「素敵な」多項式時間短縮はありますか？

不思議なことに、そのような減少は知られていない。ただし、最近の論文であるMadry（FOCS 2013）は、単位容量グラフの最大フローを2部グラフの最大マッチング（の対数的に多くのインスタンス）に削減する方法を示しました。$b$

最大のマッチング問題に慣れていない場合、これはマッチングの一般化であり、次のように定義されます。入力はグラフ（この場合は2部グラフ）、G = （V 、E ）、およびa各頂点の積分要求のセット。頂点vの要求はb vで示されます。目標は、vに付随するSで頂点vがb vを超えるエッジを持たないように、エッジSの可能な最大のセットを見つけることです。$b$$G=(V,E)$$v$$b_v$$S$$v$$b_v$$S$$v$。2部構成マッチングから最大フローへの削減を一般化し、2部構成マッチングから最大フローへの同様の削減を示すのは簡単な練習です。Madryの論文の（1つ）の驚くべき結果は、ある意味ではこれらの問題は同等であり、単位容量グラフ（通常、容量の合計| u | 1 O （m ）ノード、頂点、および需要の合計を含むグラフのbマッチング問題に対して、エッジの数m）で線形です。$b$$|u|_1$$m$$b$$O(m)$

詳細に興味がある場合は、マドリーの論文のArXivバージョンのセクション3、定理3.1およびセクション4（および付録Cの正確性の証明）を参照してください。用語は自明ではない場合、関連する要約のためのセクション2.5参照ことに留意して問題を-matchingし、そしてクマU eは、エッジの容量である電子オリジナル最大流量インスタンスです。$b$$u_e$$e$

だからここにあなたの質問に答える試みがあります：

二部マッチングに関するケーニッヒの定理は、Max-Flow Min-Cut定理を使用して証明され、その結果、縮小されました。ケーニッヒの定理は次のように述べています。Gが2部グラフの場合、max {| M | ：Mは一致します} = min {| C | ：Cはカバーです}。証明。max {| M |}≤{| C |}の部分は簡単です。P及びQは、我々は、Gに2つの頂点、Rを追加およびS Gの2分割クラス、およびアークのRPごと用とする毎およびQS Q ∈ Qから、ダイレクトエッジPQ P ∈ PにQ ∈ Q。これは有向グラフG ∗です。容量u（rp）= 1、u（pq）= ∞を定義します$p\in P$$q \in Q$$p\in P$$q\in Q$$G_{∗}$$\infty${U（QS）= 1レッツが可能一体流Xであり、我々はMを定義することができるように、次に、X（e）は、0または1 = = X ：X（E）= 1}。Mは| M |と一致します = f x。次に、Gで一致するMは、フロー値f x = | M |を使用して、G ∗で実行可能な積分フローxを生成します。次のように。X定義（PQ）= 1の場合、P 、Q ∈ M qが他のすべての場合xに、Mのエッジに入射した場合、pはMのエッジに入射し、X（QS）= 1である場合、X（RP）= 1 （E）で最大流量にGが対応する最大サイズマッチングM従って0を= G $e \in E$$f_{x}$$G_{∗}$$f_{x}$$pq \in M$$G_{∗}$、そのサイズは、Max-Flow Min-Cut定理による最小カットのサイズに等しい。最小のr − sカットδ（R）を考えます。容量は有限であるため、アークpqは含まれていません。次に、GのすべてのエッジがC =（P \ R）の要素に入射しである、Cはカバーです。さらに、u（C）= | P \ R | + | Q ∩ R | したがって、Cはサイズ| M |のカバーです。$\cup (Q \cap R)$$|Q \cap R|$

これはあなたが質問で尋ねた私の意見のすべてであり、これは私の潜在的な答えです:)。