シンプルなポリゴンのユニークな三角形分割双対

単純なポリゴン（Steinerポイントのない）三角形分割を考えると、この三角形分割の双対を考えることができます。これは次のように定義されます。三角形分割のすべての三角形の頂点を作成し、対応する三角形がエッジを共有している場合は2つの頂点を接続します。二重グラフは最大次数3のツリーであることが知られています。$P$

私のアプリケーションでは、次のことに興味があります。ツリーの所与の最大次数3と、単純なポリゴン常に存在するの（スタイナー点なし）すべての三角測量のデュアルように等しい。ここで、の三角形分割は一意ではない可能性がありますが、二重グラフは一意である必要があります。P P T $T$$P$$P$$T$$P$

これは、がパスの場合は確かに当てはまりますが、3次の頂点がある場合は不明確になります。$T$

ツリーの所与の最大次数3と、単純なポリゴン常に存在するすべての三角測量の二重の（スタイナー点なし）ように等しく、？$T$$P$$P$$T$

はい。これを示すために、一見わずかに強い結果を得る手順を示します*：

ツリーの所与の最大次数3と、単純なポリゴン構築物ように、ユニークな三角測量の有する（スタイナー無し点）そのデュアルとして。$T$$P$$P$$T$

最初の三角形を作成することにより、スタート、いくつかの頂点表すでして追加キューに。次に、が空になるまで以下を繰り返します。$\Delta_0$$v_0$$T$$v_0$$Q$$Q$

• キューから一番上の要素ポップします。$v$
• 三角形をまだ配置していない隣接する各頂点について、三角形辺と、とその隣接するセグメントを通る線によって生成される円錐領域内の点選択し、三角形他の三角形と交差しません。（下図を参照）を設定し、を追加します。$w$$AB$$\Delta_v$$D$$AB$$\Delta ABD$$\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$$w$$Q$

この画像は、指定された（右）の可能なポリゴン（左）の例を示しています$P$$T$

この手順が機能する理由を確認するには、まず新しい三角形を作成した後、セグメントとが既存の三角形と交差しない空でない領域を持つ円錐を生成することに注意してください（前の図も参照）。すべてのステップで適切なポイントを作成し、ポリゴンを作成します。$AB$$AD$

次に、間の線分が完全に内側にならないように三角形を選択しました。が完全ににあるように、すでに配置された三角形のコーナーポイントが存在する場合、とによって生成された円錐の内側にある必要があります。ただし、この円錐の内にない部分は、先に配置された三角形によって生成された円錐に含まれているため、このような$CD$$P$$Q \notin \{B,D\}$$DQ$$P$$AD$$BD$$\Delta ABD$$Q$以前に配置された三角形の類似点が存在する場合にのみ存在します。最初の三角形にはそのようなポイントが存在しないので、これは追加する三角形にはそのようなポイントがないことを意味します。

すべてのペア、この手段の任意のコーナー点のセグメントれる完全に含まれている三角測量のために一意であるように、構成された三角測量に既にある（すべての三角形は、内部セグメントの同一番号を追加します）P X Y P $(X,Y)$$P$$XY$$P$$P$

この方法で作成されたポリゴンは、かなり鋭角になる傾向があることに注意してください。任意の大きなグラフには、任意の小さな角度のポリゴンが必要であると思います。これは、これらのポリゴンを有限の精度で描画するときに問題になる可能性があります。

_{*：違いは、「一意」を同型写像（三角形分割と双対の一意性が異なることと一致する）までと解釈すると、すべて同型双対を持つ複数の三角形分割を含むポリゴンでも問題ないということです。ただし、これらのポリゴンにさらに三角形を「アタッチ」して、一部の双対が同型にならないようにすることができます。}