役に立たない状態のチューリングマシンに関する質問

さて、ここに私の理論の計算クラスの過去のテストからの質問があります：

TMの役に立たない状態は、どの入力文字列にも入力されない状態です。しようが決定不可能である ことを証明します。U S E L E S S T

$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}} = \{\langle M, q \rangle \mid q \text{ is a useless state in }M\}.$$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

答えはあると思いますが、正解かはわかりません。回答セクションに含めます。

これは停止問題から明らかに削減できます。マシンが入力停止しない場合、最終状態は「役に立たない」ことになります。入力所与停止問題のために、それが構築することが容易である場合にのみ（従ってその最終状態は無駄ではない）すべての入力で停止こと上の停止。そうすることで、を決定できる場合にティング問題を決定でき、矛盾が生じます。x M 、x M x M x U S E L E S S T $M$$x$$M,x$$M_x$$M$$x$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

この証明のために、は矛盾を表示するよう決定可能であると想定します。$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

以下を行うTMを作成します。$R$

• TMを、スタックが緩和された（つまり、LIFO要件がない）プッシュダウンオートマトン変換します。これは、の状態間の遷移を詳細に示す有向グラフに相当します。P $M$$P$$M$
• の開始状態をマークします。$P$
• 開始状態から、各アウトバウンドエッジに沿って幅優先検索を開始し、マークされていない各ノードをマークします。
• 検索が終了したときに、に一致するマークされていないノードがある場合は、を受け入れます。それ以外の場合は拒否します。$q$

次に、TM = "On input $$を作成します。$S$

1. 上記のようにTMを作成します。$R$
2. を実行します。$q$$R$
3. がacceptを返した場合、acceptを返します。拒否した場合、拒否します " $R$$R$

したがって、がの決定者である場合、は（受け入れ問題）の決定者です。以来（マイケル・シプサー参照決定不能であることが証明された計算理論 174ページの定理4.11）を、我々は矛盾に達しています。したがって、元の仮説は正しくなく、は決定できません。U S E L E S S T M S A T M A T M U S E L E S S T $R$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$$S$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$