計算可能性、複雑さ、言語の小さな間違い？

本の中で計算可能性、複雑性、および言語（2 ^回目版）、マーティン・デイビスは、（予選）第1章に書いセクション2（機能）：

セット上の部分関数 $S$ ドメインがそのサブセットである関数です $S$。上の部分的な関数の例$\mathbb{N}$ によって与えられます $g(n) = \sqrt n$、のドメイン $g$ 完全な正方形のセットです。

これまでのところ簡単です。しかし、彼は先に進み、セクションの最後に数行書きます。

閉鎖の考え方を時々参照します。もし$S$ セットです $f$ の部分関数です $S$、その後 $S$さの下で閉じ $f$ の範囲の場合 $f$ のサブセットです $S$。例えば、$\mathbb{N}$ 下に閉じています $f(n) = n^2$、ただし下で閉じられていません $h(n) = \sqrt n$（どこ$h$の総関数です$\mathbb{N}$）。

だから最初の引用で $\sqrt n$ オン $\mathbb{N}$は部分関数の例ですが、2番目の引用では、同じ関数が合計関数の例です。

両方の例は互いに矛盾しているようです。または、ここでの閉鎖に関して何か不足していますか？

ここに矛盾はありません。最初のケースは部分関数を定義します$g\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ によって与えられた

$$g(n) = \begin{cases} x &\text{if $x\in\mathbb{N}$ and }x^2=n\\ \text{undefined} &\text{if no such $x$ exists.} \end{cases}$$ テキストが言うように、「のドメイン $g$ 完全な正方形のセットです。」

2番目のケースは、合計関数を定義します $h\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ によって与えられた

$$h(n) = x \quad \text{if }x\in\mathbb{R}_{\geq 0} \text{ and } x^2=n\,.$$ のドメイン $h$ すべての自然数のセットです。

これらは同じ機能だとおっしゃっていますが、違います。 $g(2)$ 未定義ですが $h(2)$ 定義されている（かつ $\sqrt{2}$）。 $h$ 平方根をすべての自然数に関連付けますが、 $g$ 平方根を完全な平方である自然数に関連付けるだけです。

$\mathbb{N}$ 下に閉じています $g$ なぜなら、いつでも $g$ 定義されている、 $g(n)\in\mathbb{N}$。 $\mathbb{N}$ 閉鎖されていません $h$ たとえば、 $2\in\mathbb{N}$ だが $h(2)\notin\mathbb{N}$。

2番目の例では、 $h(n)$ すべての自然数に対して定義されています $n$; いつ$n$ 正方形ではありません、 $h(n)$ は不合理な量であり、特に自然数ではありません。

言い換えると、自然数のセットは平方根をとっても閉じていません。たとえば、 $\sqrt{2}$ は自然数ではありません。