量子コンピューターとチューリングマシンの比較に関するリファレンス

量子コンピューターはチューリングマシンほど計算能力が高くないと言われました。誰かがその事実を説明するいくつかの参考文献を与えるのを手伝ってくれるでしょうか？

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— Gilles「SO-邪悪なことをやめよ」

回答:

実際には、量子コンピューターが計算できるものは何でも、チューリングマシンも計算できるということです。（これはどのようにすべてのコメントなしで長い間、それは、量子コンピュータに比べて関数を計算するチューリングマシンを取ります。）

これは、量子計算を理解していれば、実際に見るのは難しくありません。たとえば、一般的なゲートセット上の量子回路の場合、結果は、ユニタリ行列の係数によって決定される確率分布によって決まります。そのユニタリ行列は、ゲートの行列積の単なる行列積であり、十分な忍耐力があれば、古典的なコンピューターで計算できます。したがって、（効率とは対照的に）純粋な計算可能性については、量子コンピュータを使用する利点はありません。

量子力学から生じる全体的な課題は、そのような係数を効率的に計算できるかどうかを決定することです。これは、係数をまったく計算できるかどうかよりも厳しい問題です。

— ニール・ド・ボードラ
ソース

私の初心者の知識は、量子回路がアダマール行列変換を表すことを教えてくれますが、古典的なコンピューターで任意の行列計算を行うプログラミングの可能性が、量子回路を物理的に持つことの代用になることはまだわかりません。たとえば、私の本では、乱数の生成について次のように述べています。1. | x> <-| 0> 2. | x> <-H | x> 3.測定| x>特にステップ3は何に対応するか古典的なコンピューターでのプログラミング？

— Mok-Kong Shen

（適切に正規化された）アダマール行列は、考えられる単一変換の1つにすぎません。計算では、確定的チューリングマシンがアダマール行列の最初の列の2乗ノルムからなる確率分布（0.5、0.5）を計算できることがわかります

、そしてランダム化されたチューリングマシン（コインフリップを実行できる）の場合、さらに一歩進んでその確率分布からサンプルを生成できます。いずれにせよ、誤差が1/2未満の量子回路によって計算された関数であれば、古典的なマシンでも可能です。

| ⟨ b | H | 0 ⟩ |^{2}

$\bigl|\langle b |H|0\rangle\bigr|^2$

— Niel de Beaudrap、2012年

@ Mok-Kong Shen：非効率性や遅延についての私の発言から明らかでない場合、量子コンピューターは、より迅速に計算できるという意味で、計算能力が高いと一般に考えられています。私は、彼らが古典的なコンピュータでも計算できないものを計算できないという事実に対処してきました（計算として「コインを弾く」という概念を無視します）。

— Niel de Beaudrap、2012年

量子ゲートを考えてみましょう。すべての技術的詳細を平滑化すると、行列として表すことができます。ゲートへの入力、たとえばだけベクトルであり、およびゲートの出力は、ベクトルである。 $G$ $\vert \phi \rangle$ $v$ $Gv$

ここで、回路について考えます。回路は、ゲートのちょうど束であり、であり、回路自体は「一般化されたゲート」とことができ、入力状態（ベクトル）で動作します。[繰り返しますが、これは非常に大まかな抽象化です。] $\{G_1, G_2, ... \}$ $C=G_n \cdots G_2 G_1$ $v$

したがって、基本的に、入力で回路を計算する、単にベクトル算出される又は。このようなタスク（行列の乗算とベクトルによる行列の乗算）は、古典的なTMで実行できることは明らかです。したがって、TMは少なくとも量子TM（QTM）と同じくらい強力です[OK、古典的な回路は量子と同じくらい強力です回路。気にしないでください。] $\vert \phi \rangle$ $Cv$ $G_n \cdots G_2 G_1 v$

一方、QTMはTMと同程度に強力であるため、両方のモデルは同等です。

コメントによる編集
どの「コンピュータ」がより強力であるかを尋ねるには、まず「計算的に強力」であることの意味を明確にする必要があります。そして、この半哲学的な議論は質問から始まります

計算とは？

「MP3の再生」ファイルは計算ですか？乱数の出力は計算ですか？

$x$ $y=f(x)$ $y$ $y$ $x$ $f$

$f$ $B$

$A$ $B$ $f$ $A$ $f$ $B$ $f$

$y$ $y_1$ $p_1$ $y_2$ $p_2$ $^0$

$f(x)$ $y_i$ $p_i>0.75$ $^1$ $f$ $f(x)$ $^2$ $f$ $f(x)$ $(y_1,p_1), (y_2,p_2),...$

上記により、確率があってもモデルの能力は変化せず、従来のTMは可能な出力のリストと各出力の確率を出力できるだけであることは明らかです。これは、TMが行列を乗算してベクトルを出力するときに正確に何が起こるかです。ベクトルは、考えられるすべての測定出力の確率を表します。

^{$^0$

$^1$ $p=0.75$ $1/2$

$^2$ $f$}

— ランG.
ソース

古典的なコンピューターで行列計算をプログラムすることはできましたが、量子計算をシミュレートするコードを記述する方法がわかりません。とにかく量子ビットが必要になります。量子ビットには、通常アルファとベータで表される2つの値があります。どの値を使用すればよいですか？乱数生成のケースについては、Niel de Beaudrapの回答に対する私のコメントも参照してください。

— Mok-Kong Shen

| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩

$\def\ket#1{|#1\rangle}\ket\psi = \alpha\ket0 + \beta\ket1$

ψ ψ = [α β]^{⊤}

$\pmb\psi = [\alpha\quad\beta]^\top$

@Niel de Beaudrap：しかし、私が特定の量子計算をシミュレートするコード（たとえば、前述の乱数生成）を書くとき、古典的なコンピューターにシミュレートされた量子ビットを実装する必要があります。私は、これらの係数の値を知らずにそれを行うコードをどのように書くかについては知らない。

— Mok-Kong Shen

@ Mok-Kong Shen：重要なのは、実行時にあなたが知っていることです。問題は、入力で指定された古典的な確率分布からのサンプリングとまったく同じです。つまり、ランダムサンプリングでよく研究された問題に減少します。たとえば、ここではモンテカルロ法が適用されます。

— Niel de Beaudrap、2012年

@ Mok-KongShen拡張ディスカッションにはコメント（特に他のユーザーの投稿）を使用しないでください。移動チャットのいずれかで、このサイトの一般的な部屋やチャットルームで作成された目的のために。

— Gilles「SO-邪悪なことをやめなさい」

他の回答も有効です。これは、複雑さのクラス分離と量子vs古典的コンピューティングに関する多くの最新の研究の中心にある、これは本当に非常に深い（まだ未解決/未解決の）質問であることを強調するものを追加したいだけです。TMとQMコンピュータの両方がチューリング完全であることが証明されている限り、それらは機能的に同等です。これを証明する方法はいくつかあります。

しかし、複雑性理論における同等性は、時間と空間の微妙さ/効率、つまり特定のアルゴリズムを計算するためのリソースに大きく依存します。また、QMコンピューティングの「ノイズ」を調査する膨大な量の研究があり、理論的なノイズレスモデルは実際には「現実的」または実現可能ではない可能性があり、実際のモデルには大きなノイズが含まれる可能性があります。このノイズなどを軽減するための複雑なスキームがあります。RJ Liptonsブログのさまざまな投稿（21世紀の飛行機械など）に、これに関する優れた解説があります。

例えばによるPの時間で実行量子アルゴリズムのクラス、ファクタリングはBQPであることが証明されている有名な証拠でショア時にもQMに本格的な研究/研究内容を大量に立ち上げたことが原因で劇的の計算します結果。

$\stackrel{?}{=}$

Scott Aaronsonはsubjの優れた作家/研究者であり、素人にアクセス可能ないくつかの論文を書いています。たとえば、QMコンピュータの制限、SciAmまたはQMコンピューティングは新しい洞察、NYTを約束します。

— vzn
ソース

アラム・ハローは、ノイズ問題に関するQMコンピューティングの主要な懐疑論者であることに注意してください。もう1つの良い出発点、RJリプトンのブログ、21世紀の永続的な動き？

— vzn 2012年