ランダム化されたアルゴリズムは建設的ですか？

から、確率論的方法による証明は非建設的であるとよく言われます。

ただし、確率論的手法による証明は、実際にランダム化されたアルゴリズムを設計し、存在を証明するために使用します。Rajeev Motwani、Prabhakar Raghavanによるランダム化アルゴリズムの p103から引用：

確率的方法による証明は、ランダム化されたアルゴリズムと見なすことができます。この場合、特定の実行でアルゴリズムが適切なパーティションを見つけられない確率を制限する、さらなる分析が必要になります。確率論的方法の思考実験とランダム化アルゴリズムの主な違いは、それぞれがもたらす結果です。確率的方法を使用する場合は、組み合わせオブジェクトが存在することを示すことのみに関心があります。したがって、好ましいイベントがゼロ以外の確率で発生することを示すことに満足しています。一方、ランダム化されたアルゴリズムでは、効率は重要な考慮事項です-非常に小さな成功確率は許容できません。

したがって、ランダム化されたアルゴリズムは、建設的なものではないと見なされていますか？

アルゴリズムまたは証明はどのように「建設的」に定義されていますか？

ありがとう！

確率的方法は、典型的には、確率ことを示すために使用されるいくつかの特定の性質を有するランダムオブジェクトが非ゼロであるが、任意の例を示しません。「成功するまで繰り返す」アルゴリズムが最終的に終了することを保証しますが、ランタイムの上限を与えません。したがって、プロパティが保持される確率が実質的でない限り、確率論的方法による存在証明は非常に貧弱なアルゴリズムになります。

実際のところ、確率的アルゴリズムは、建設的な存在証明を生成するアルゴリズムであるのと同じくらい、実際には建設的な存在証明ではありません。出力は、その存在を証明するために意図された種類のオブジェクトです。しかし、それが最終的に 1を生成するという事実（「それが例を生成する反復が存在する-確率ゼロを除いて...」）は、建設的であるには十分ではありません。ゼロでない確率なしの存在で十分であることをすでに受け入れている人にとってのみ満足です。逆に、ランタイムに十分な制限がある場合は、実際にサンプルを作成するために実行しないという言い訳は原則としてありません。良い確率的アルゴリズムはまだ建設的な証明ではありませんが、良い建設的な証明を取得する計画。

$n$$n^2$$2n+1$$(n-1)^2$先行する連続する奇数の合計$2n-1$、など。）帰納法は本質的にアルゴリズムの証明戦略であり、定理に引き上げたため、毎回明示的に計算しなくても知識を得ることができます。ただし、誘導は、ペアノ演算の公理（-scheme）であり、他の公理から独立しているため、建設的に受け入れられます。対照的に、確率論的方法が存在を建設的に証明したり、確率的アルゴリズムが存在証明やこれらの線に沿って何かを生成したりすることを建設的に証明したりする推論や公理の規則はありません。公理として、または他の前提からの命題をすでに受け入れていない限り、オブジェクトを構築する確率的アルゴリズムがあるという事実から、オブジェクトのクラスの例があることを証明することはできません。

もちろん、構成主義と存在への古典的なアプローチの中間にある哲学的立場を採用し、1つよりも低い確率で失敗することが許可されている構成自体ではなく、構成スキーマが必要だと言うかもしれません。完全に建設的ではないにしても、確率的構築は「概略的」になります。線を引きたい場合、つまり、存在証明が「満足できる」であると考える場合、最終的には、証明から得たいと思う直観（非哲学的な意味）に依存します。

均一な証明の複雑さは、証明の建設的な概念とそれらの複雑さのクラスとの関係の研究に（他の中でも）専念する分野です。一般的な（均一な）回路複雑度クラスのそれぞれについて、証明可能なすべてのものがこの複雑度クラスのアルゴリズムに「バッキング」を持っているという理論を定義できます。ランダム化されたアルゴリズムは、鳩の穴の原理のバージョン（奇妙なことに十分です）に対応しています。

残念ながら私は専門家ではないので、クックとグエンによる本（クックの定理と同じクック）とエミルイェーベクの作品、特にランダム化された計算に関する彼の論文を紹介する以外は、これ以上は言えません。