チューリングマシンと形式言語は同じ数学オブジェクトですか？

彼のコンセプトを構築する際のチューリングの目的は、人間が抽象的な推論を行う方法を形式化することでした。

私が間違っている場合は修正してください。ただし、その推論は、一連の正式なステートメント、つまりセマンティクスが付加されていない文字列を操作する練習にすぎません。

では、チューリングマシンが推論と同じである場合、正式な言語とチューリングマシンの間に同型（またはそのようなもの）があるのでしょうか。

結構です。チューリングマシンは、この数学的オブジェクトによって記述されます。

どこ

• $Q$は有限の状態セットです
• $\Sigma$はアルファベットであり、記号の有限セットです
• $\delta : Q \times \Sigma \rightarrow Q \times \Sigma \times\{\Leftarrow, \Rightarrow\}$は遷移関数です
• $\mathcal H \subseteq Q$は、停止状態のセットです。
• $q_0 \in Q$は初期状態です
• $b \in \Sigma$は「空白」の記号です

マシンは、入力文字列受け取り、遷移関数を使用して、が属する状態を返すまで、その文字列内の個々のシンボルを繰り返し更新します。その時点で、マシンが停止したと言います。$x \in \Sigma*$$\delta$$\mathcal H$

それに比べると、正式な言語ははるかに単純なオブジェクトです。言語は、あるアルファベットのすべての文字列のサブセットにすぎません。つまり、、ここではクリーネのスター演算子です。$\mathcal L \subseteq \Sigma^*$$*$

チューリングマシンを使用して正式な言語を定義できるという関連があります。例えば：

チューリングマシンに関して形式言語を定義します。言語場合、その入力が属している場合にのみ停止するTuringマシンが存在する場合、その言語はTuring-recognizableと呼ばれます。一部の言語は、どのチューリングマシンでも定義できないため、計算できません。任意の文字列がその言語に属しているかどうかを有限プロセスが判断することはできません。$\mathcal L$$\mathcal M$$\mathcal L$$\mathcal L$

形式言語はチューリング機械と同じではありませんが、チューリング認識性は形式言語の研究において興味深い位置を占めています。チョムスキー階層では、タイプ0言語は任意の正式な文法で列挙できる言語であり、これはチューリングマシンで認識可能であることに相当します。形式文法とチューリングマシンは、同等に強力な多くの計算モデルの2つにすぎません。

一般に、すべての計算モデルは、計算可能な言語と計算不可能な言語を同じように区別すると信じられています。この概念は、Church-Turing論文と呼ばれています。

編集：私が最初にこれを書いたとき、私の用語はオフでした。チューリング決定可能言語は、常に停止するマシンによって決定でき、その入力がその言語に属しているかどうかに関して決定的なイエスまたはノーを与えます。マシンがメンバーの受け入れのみを要求し、必ずしも非メンバーを拒否できない場合、関連する言語はTuring recognizable、またはより一般的には再帰的に列挙可能と呼ばれます。認識可能な言語のチューリングは、無制限の文法によって生成できる言語と同等です。

一部の言語は再帰的に列挙できません。たとえば、停止しないすべてのチューリングマシンのセットは完全に認識できません。このセットに対応する言語で、どの文法でも生成できないものがありますが、それでも「形式言語」と呼ばれる可能性があります。この定義では、チューリングマシンから正式な言語への完全なマッピングはなく、2つの間の同型性はありません。

いいえ、同じではありません。言語とは、有限のアルファベットを超える単語の集合です。チューリングマシンは、ウィキペディアで定義されている7タプルです。

一部の言語では、それらを認識するTMで特徴付けると便利です。TMが認識できるすべての言語に対して、同じ言語を認識するTMは無数にあるため、それを一意にするには、いくつかの追加の基準を課す必要があります。

これは同型の良い出発点のように聞こえるかもしれませんが、残念ながらTMが認識できない言語は無限にあります。これは、単純なカウントの議論で見ることができます。固定アルファベットのすべての可能な単語のセットは、自然数に同型です。したがって、そのアルファベットのすべての言語のセット（=単語のすべてのサブセットのセット）は数えられません。一方、チューリングマシンは数え切れないほどあります。したがって、「認識」を同型にすることができるだけでなく、TMのセットのカーディナリティが言語のセットと同じであることを意味するため、同型は存在できません。