簡略化された最大多様性問題

最大多様性問題は、選択を要求します $m$ リストのアイテム $n$ アイテム間のメトリック距離として定義される多様性が最大化されるようなアイテム。

私はもっ​​と簡単な方法で問題を解決できると思っていました。私の場合、私はリストを持っています$n$それぞれが特定の一意でないキーを持つアイテム。選びたい$m$キーごとのアイテムの最大数が最小化されるように、私のリストのアイテム。

たとえば、私のリストが：

('a', 5), ('b', 4), ('c', 2), ('a', 6), ('b', 5)

そして、私たちは選択しなければなりません $m=3$ アイテムの場合、最適なソリューションは、キーごとに1つのアイテムを含むリストです。

これを行うためのアルゴリズムは、最大多様性問題のアルゴリズムよりも簡単ですか？

次のアルゴリズムが機能するはずです。

アルゴリズムはいくつかのラウンドで進行します。各ラウンドで、$m'$残りのアイテムの数になります。キーごとに1つのアイテムを取る$m'$アイテム、およびこれらのアイテムを削除します。取ったら$m'$アイテム、アルゴリズムは終了します。それ以外の場合は、次のラウンドに進みます。

正当性の証明（または反例）は読者に任せます。

もう少し考えてみると、これを解決するための「ワンパス」アルゴリズムがあると思います。

そこにおいて $n$ アイテム $k$ キー、 $n_i$各キーのアイテム。選びたい$m_i\le n_i$、 そのような $\sum m_i = m$、そして $\max{m_i}$ 最小化されます。

明らかに、すべての場合 $n_i$ 我々は持っています $n_i > m/k$、単に選択します $m_i = m/k$。それ以外の場合は、次のアルゴリズムを使用します。

1. 各キーのアイテム数を数える（$n_i$）、昇順に並べ替えます。
2. ながら $n_i \le m/k$ セットする $m_i=n_i$
3. すべてのために $n_i > m/k$、選択 $m_i = \left\lceil \frac{m - \sum_{j<i} m_j}{k-i+1}\right\rceil$

このアルゴリズムは $O(n)$ リストの長さでは、異なるキーの数が比較で無視できると仮定しています。