ディオファントス方程式の解はどのように言語として表現できますか？

質問を受けました

次の言語はチョムスキー階層のどこに適合しますか？

ディオファントス方程式非負の解。$(x,y)$$3x-y=1$

ような言語は理解できますが、この言語では混乱します。言語の単語はどのように見えますか？文法や正規表現を使用してそれをどのように表現できますか？$L = \{ 0^n1^n \mid n \ge 1\}$

まず最初に、フレーズ自体を確認し、少しの間、言語への参照をすべて無視します。

それで、ディオファンタス方程式の非負の解は何ですか $3x-y=1$？いくつか修正すると$x$、その後 $y = 3x-1$。これは、ソリューションのセットが$\{ (x, 3x-1)\ |\ x > 0 \}$ （ご了承ください $x=0$ ネガティブ $y$、そしてポジティブ $x$ プラスになる $y$）。

これで、文字列を負でない数のペアに関連付けることができます $(x, y)$： 例えば、 $(100, 299)$文字列に関連付けることができます(100, 299)。これをセット内のすべてのペアに適用すると、結果の文字列セットはこのセットの言語になります。この質問では、文字列をソリューションに関連付ける方法が明確にされていないことに注意してください。

今やらなければならないのは、この言語がチョムスキー階層のどのレベルにあるかを理解することだけです。私はこれが宿題の質問だという穏やかな疑いがあるので、すぐに豆をこぼすことはしません。これが宿題ではないことを確認しても問題が解決しない場合は、回答を編集します。

問題の記述は確かに不完全ですが、これを見ると、「10進表記で整数を表す」または「2進表記で整数を表す」が意図されたものであると安全に想定できます。

：私たちは、バイナリ表記を前提とした場合ので、ここで、アルファベットは、5つの文字が含まれている0、1、(、)と,。10進表記を想定すると、アルファベットにはさらに2からまでの数字が含まれます9。

問題の言語は、正規表現に一致する言語のサブセットです $\mathtt{(}(0|1)^*\mathtt{,}(0|1)^*\mathtt{)}$（バイナリ表記で行く）。方程式のより単純なケースを仮定した場合$2x-y=0$、言語はすべての数字のペアになります $(x,y)$ そのような $y = 2x$。バイナリでは、これは$y$ です $x$0最後に追加で。つまり、言語は次の形式の単語で構成されます。($x$,$x$0)。これはチョムスキー階層のどこに適合しますか？

ここに、より複雑な例があります。 $y = 3x-1$。の2進（または10進）展開の方法$x$ そして $y$ いつ比較する $y=3x-11$？

言語はペアではなく単語のセットであるため、質問は完全ではありません。次のようにエンコードすると$x\$y$ どこ $x,y$ バイナリであり、次のようにエンコードすると、状況依存ですが、文脈自由ではありません（Gillesの回答を参照）。 $x\$y^R$ それは文脈自由ですが、規則的ではありません（運動）、 $x$ そして $y$、レギュラーです！こちらをご覧ください。