ノードの完全なバイナリツリーの深さはどれくらいですか？

この質問では、完全なバイナリツリーの次の定義を使用します^†：

最後のレベルを除くすべてのレベルが完全に満たされ、最後のレベルのすべてのノードが左側にある場合、レベルのバイナリツリーは完全です。 $T$ $N$

以下はAlgorithmsからの抜粋です。

これ（）は、ノードを持つ完全なバイナリツリーの深さでもあります。（より正確には、です。） $\log N$ $N$ $⌊\log N⌋$

上記の抜粋が真実なのはなぜですか？

^†もともとここで定義

data-structures binary-trees

高さ完全なバイナリツリーがどのように構築されるかを検討してください。1つはルートレベルの頂点、2つはルートの下の最初のレベル、4つは次の2番目のレベルというように、レベルまで続き、少なくとも1つの頂点、ただし最大で前のレベルの2倍。各レベルの頂点の数は2の累乗であることに注意してください（特殊なケースである最後を除く）。次に、を使用して、2の最初の乗の合計はです：、したがって $h$ $h^{th}$

1 + \sum_{i = 0}^{h - 1} 2^{i} \leq n \leq \sum_{i = 0}^{h} 2^{i}

$1+\sum_{i=0}^{h-1}2^{i} \leq n \leq \sum_{i=0}^{h}2^{i}$

k

$k$

2^{k + 1} - 1

$2^{k+1}-1$

1 + 2^{h} - 1 \leq n \leq 2^{h + 1} - 1 2^{h} \leq n \leq 2^{h + 1} - 1

$1+2^{h}-1 \leq n \leq 2^{h+1}-1\\ 2^{h} \leq n \leq 2^{h+1}-1$

2^{h} \leq n < 2^{h + 1}

$2^{h} \leq n < 2^{h+1}$

2を底とする対数を取る：、我々は結論付けることができるのでようよりも大きい次の整数よりも少ないが、。

h \leq \log n < h + 1

$h \leq \log n < h+1$

h = ⌊ \log n ⌋

$h = \lfloor\log n\rfloor$

\log n

$\log n$

h

$h$

h + 1

$h+1$

— ルーク・マチソン
ソース

floor（logn）がceiling（log（n + 1））-1と同じであることに注意してください。これは、等式を2 ^ h -1 <n <= 2 ^（h + 1）-1に変更することによっても導出できます。

— KGhatak