私は誰かにCがチューリング完全であることを説明しようとしていましたが、実際には技術的にチューリング完全であるかどうかはわかりません。（Cは、実際の実装ではなく、抽象的なセマンティクスのように。）

「明白な」答え（おおよそ：任意の量のメモリをアドレス指定できるため、RAMマシンをエミュレートできるので、チューリング完全です）は、C標準で許可されている限り、実際には正しくありません。 size_tを任意に大きくするには、一定の長さに固定する必要があり、固定する長さに関係なく、有限です。（つまり、任意の停止しているチューリングマシンが与えられた場合、「適切に」実行されるようにsize_tの長さを選択できますが、すべての停止しているチューリングマシンが適切に実行されるようにsize_tの長さを選択する方法はありません）

だから：C99チューリング完全ですか？

よくわかりませんが、かなり微妙な理由で答えはノーだと思います。私は数年前に理論計算機科学について尋ねましたが、ここで紹介する以上の答えは得られませんでした。

ほとんどのプログラミング言語では、次の方法でチューリングマシンをシミュレートできます。

• 有限量のメモリを使用するプログラムで有限オートマトンをシミュレートします。
• 整数のリンクリストのペアでテープをシミュレートし、現在の位置の前後のテープの内容を表します。ポインターを移動するとは、リストの1つの頭を他のリストに移動することを意味します。

テープが長すぎると、コンピューターで実行される具体的な実装ではメモリが不足しますが、理想的な実装ではチューリングマシンプログラムを忠実に実行できます。これは、ペンと紙で、またはより多くのメモリを搭載したコンピューターを購入し、プログラムがメモリを使い果たした場合に、ワードあたりのビット数がより多いアーキテクチャを対象とするコンパイラを購入することで実現できます。

これはCでは機能しません。なぜなら、リンクリストを永久に成長させることは不可能だからです。ノードの数には常にある程度の制限があります。

その理由を説明するために、最初にC実装とは何かを説明する必要があります。Cは実際にはプログラミング言語のファミリーです。ISO C標準（より正確には、この規格の特定のバージョン）（英語ができること格式のレベルを持つ）を定義構文と意味プログラミング言語の家族。Cには多くの未定義の動作と実装定義の動作があります。Cの「実装」は、実装定義のすべての動作を体系化します（体系化するもののリストは、C99の付録Jにあります）。Cの各実装は、個別のプログラミング言語です。「実装」という言葉の意味は少し独特であることに注意してください。それが実際に意味するのは言語バリアントであり、同じ言語バリアントを実装する複数の異なるコンパイラプログラムがある場合があります。

Cの特定の実装では、1バイトに可能な値があります。すべてのデータは、バイトの配列として表すことができます。型には、最大 2つのCHAR_BIT × sizeof（t）の可能な値があります。この数は、Cの実装によって異なりますが、Cの特定の実装では定数です。$2^{\texttt{CHAR_BIT}}$t$2^{\texttt{CHAR_BIT} \times \texttt{sizeof(t)}}$

特に、ポインターは最大で値しかとることができません。これは、アドレス可能なオブジェクトの最大数が有限であることを意味します。$2^{\texttt{CHAR_BIT} \times \texttt{sizeof(void*)}}$

CHAR_BITおよびの値sizeof(void*)は観察可能であるため、メモリが不足すると、これらのパラメータの値を大きくしてプログラムの実行を再開することはできません。異なるプログラミング言語、つまり異なるC実装でプログラムを実行することになります。

言語のプログラムが持つことができる状態の数が限られている場合、プログラミング言語は有限オートマトンよりも表現力がありません。アドレス可能なストレージに制限されているCのフラグメントは、最大プログラム状態のみを許可します。ここで、nはプログラムの抽象構文ツリーのサイズ（制御フローの状態を表す）です。プログラムは、その数の状態を持つ有限オートマトンによってシミュレートできます。Cがより表現力豊かであれば、他の機能を使用する必要があります。$n \times 2^{\texttt{CHAR_BIT} \times \texttt{sizeof(void*)}}$$n$

Cは最大再帰深度を直接課しません。実装には最大値を設定できますが、最大値を設定しないこともできます。しかし、関数呼び出しとその親の間でどのように通信するのでしょうか？引数がアドレス可能な場合は、再帰の深さを間接的に制限するため、引数は適切ではありません。関数がある場合、アクティブなフレームのint f(int x) { … f(…) …}すべての出現は独自のアドレスxをf持ち、ネストされた呼び出しの数は番号で制限されます以下のための可能なアドレスのx。

Cプログラムは、register変数の形式でアドレス指定不可能なストレージを使用できます。「通常の」実装では、アドレスを持たない少数の変数のみを使用できますが、理論的には、実装では無制限の量のregisterストレージを使用できます。そのような実装では、引数がである限り、関数を無制限に再帰呼び出しできますregister。しかし、引数はregisterであるため、それらへのポインターを作成することはできないため、それらのデータを明示的にコピーする必要があります：ポインターで作られた任意のサイズのデータ​​構造ではなく、有限量のデータのみを渡すことができます。

無制限の再帰の深さ、および関数が直接呼び出し元（register引数）からのみデータを取得し、直接呼び出し元にデータを返す（関数の戻り値）という制限があるため、決定性プッシュダウンオートマトンの力が得られます。

さらに進む方法が見つかりません。

（もちろん、ファイル入出力関数を介して、プログラムにテープの内容を外部に保存させることもできます。しかし、Cがチューリング完全かどうかを尋ねるのではなく、Cと無限ストレージシステムがチューリング完全かどうかを尋ねます。答えは退屈な「はい」です。ストレージをチューリングオラクルとして定義することもできます。最初のテープコンテンツを呼び出し  fopen("oracle", "r+")、最終的なテープコンテンツfwriteをfread戻します。

C99のva_copy可変引数APIへの追加は、チューリング完全性への裏口を私たちに与えるかもしれません。最初に引数を受け取った関数以外の関数で可変引数リストを複数回反復処理することが可能になるva_argsため、ポインターなしのポインターを実装するために使用できます。

もちろん、可変引数APIの実際の実装にはおそらくどこかにポインターがありますが、抽象マシンでは、代わりにマジックを使用して実装できます。

以下に、任意の遷移ルール​​を使用した2スタックプッシュダウンオートマトンを実装するデモを示します。

#include <stdarg.h>
typedef struct { va_list va; } wrapped_stack; // Struct wrapper needed if va_list is an array type.
#define NUM_SYMBOLS /* ... */
#define NUM_STATES /* ... */
typedef enum { NOP, POP1, POP2, PUSH1, PUSH2 } operation_type;
typedef struct { int next_state; operation_type optype; int opsymbol; } transition;
transition transition_table[NUM_STATES][NUM_SYMBOLS][NUM_SYMBOLS] = { /* ... */ };

void step(int state, va_list stack1, va_list stack2);
void push1(va_list stack2, int next_state, ...) {
    va_list stack1;
    va_start(stack1, next_state);
    step(next_state, stack1, stack2);
}
void push2(va_list stack1, int next_state, ...) {
    va_list stack2;
    va_start(stack2, next_state);
    step(next_state, stack1, stack2);
}
void step(int state, va_list stack1, va_list stack2) {
    va_list stack1_copy, stack2_copy;
    va_copy(stack1_copy, stack1); va_copy(stack2_copy, stack2);
    int symbol1 = va_arg(stack1_copy, int), symbol2 = va_arg(stack2_copy, int);
    transition tr = transition_table[state][symbol1][symbol2];
    wrapped_stack ws;
    switch(tr.optype) {
        case NOP: step(tr.next_state, stack1, stack2);
        // Note: attempting to pop the stack's bottom value results in undefined behavior.
        case POP1: ws = va_arg(stack1_copy, wrapped_stack); step(tr.next_state, ws.va, stack2);
        case POP2: ws = va_arg(stack2_copy, wrapped_stack); step(tr.next_state, stack1, ws.va);
        case PUSH1: va_copy(ws.va, stack1); push1(stack2, tr.next_state, tr.opsymbol, ws);
        case PUSH2: va_copy(ws.va, stack2); push2(stack1, tr.next_state, tr.opsymbol, ws);
    }
}
void start_helper1(va_list stack1, int dummy, ...) {
    va_list stack2;
    va_start(stack2, dummy);
    step(0, stack1, stack2);
}
void start_helper0(int dummy, ...) {
    va_list stack1;
    va_start(stack1, dummy);
    start_helper1(stack1, 0, 0);
}
// Begin execution in state 0 with each stack initialized to {0}
void start() {
    start_helper0(0, 0);
}

注：場合 va_listが配列型の、実際には関数への非表示ポインターパラメーターがあります。したがって、おそらくすべてのva_list引数のタイプをに変更した方がよいでしょうwrapped_stack。

非標準の算術演算でしょうか？

そのため、問題はの有限サイズのようsizeof(t)です。しかし、私は回避策を知っていると思います。

私の知る限り、Cはその整数型に標準整数を使用する実装を必要としません。したがって、非標準の算術モデルを使用できます。次に、設定しますsizeof(t)非標準の数にしますが、有限数のステップで到達することはありません。したがって、チューリングマシンのテープの長さは常に「最大」よりも短くなります。最大値に到達するのは文字通り不可能だからです。sizeof(t)単に単語の通常の意味では数字ではありません。

これはもちろん技術の1つです。 です。テネンバウムの定理です。Peano算術の唯一のモデルは標準モデルであり、明らかにそうではないと述べています。しかし、私が知る限り、CはPeanoの公理を満たすデータ型を使用する実装を必要とせず、計算可能な実装も必要としないため、これは問題になりません。

非標準の整数を出力しようとするとどうなりますか？さて、非標準の文字列を使用して非標準の整数を表現できるため、その文字列の先頭から数字をストリームするだけです。

IMO、強力な制限は、アドレス可能なスペース（ポインターサイズを介して）が有限であり、これが回復できないことです。

メモリを「ディスクにスワップ」できると主張することもできますが、ある時点でアドレス情報自体がアドレス可能なサイズを超えることになります。

実際には、これらの制限はチューリングの完全性とは無関係です。実際の要件は、テープを無限ではなく、任意の長さにすることです。それは別の種類の停止問題を作成します（宇宙はどのようにテープを「計算」しますか？）

「リストを無限に大きくすることはできないので、Pythonはチューリング完全ではありません」と言っているのと同じくらい偽です。

[編集：編集方法を明確にしてくれたホイットレッジ氏に感謝します。]

リムーバブルメディアを使用すると、無制限のメモリの問題を回避できます。おそらく人々はこれが虐待だと思うだろうが、私はそれは大丈夫で、とにかく本質的に避けられないと思う。

ユニバーサルチューリングマシンの実装を修正します。テープには、リムーバブルメディアを使用します。ヘッドが現在のディスクの末尾または先頭から外れると、マシンはユーザーに次または前のディスクを挿入するように促します。シミュレートされたテープの左端を示すために特別なマーカーを使用するか、両方向に境界のないテープを使用できます。

ここで重要なのは、Cプログラムが実行しなければならないことはすべて有限であることです。コンピューターは、オートマトンをシミュレートするのに十分なメモリのみを必要とし、size_tのみを必要とし、（実際にはかなり少ない）量のメモリとディスク上のアドレス指定を可能にするのに十分な大きさである必要があります。ユーザーは次または前のディスクを挿入するように求められるだけなので、「ディスク番号123456を挿入してください...」と言うのに無制限に大きな整数は必要ありません。

主要な異論はユーザーの関与に対するものであると思われますが、無制限のメモリを実装する他の方法がないように思われるため、どの実装でも避けられないようです。

size_t無限に大きくなることを選択する

size_t無限に大きくすることもできます。当然、そのような実装を実現することは不可能です。しかし、私たちが住んでいる世界の有限性を考えると、それは驚くことではありません。

実用的な意味

しかし、そのような実装を実現できたとしても、実際的な問題があります。次のCステートメントを検討してください。

printf("%zu\n",SIZE_MAX);

SIZE_MAXSIZE_MAX$O(2^{size\_t})$size_tSIZE_MAXprintf

幸いなことに、理論的な目的のために、printfすべての入力に対して保証が終了するという要件を仕様に見つけることができませんでした。したがって、私が知る限り、ここでCの仕様に違反することはありません。

計算の完全性について

理論的な実装がチューリング完了であることを証明することはまだ残っています。これは、「任意のシングルテープチューリングマシン」を実装することで確認できます。

私たちのほとんどはおそらく学校プロジェクトとしてチューリングマシンを実装しているでしょう。特定の実装の詳細は説明しませんが、一般的に使用される戦略は次のとおりです。

• 状態の数、シンボルの数、および状態遷移表は、特定のマシンに対して固定されています。したがって、状態とシンボルを数値として、状態遷移表を2次元配列として表すことができます。
• テープはリンクリストとして表すことができます。単一の二重リンクリスト、または2つの単一リンクリスト（現在の位置からの各方向に1つ）を使用できます。

次に、そのような実装を実現するために必要なものを見てみましょう。

• 固定されているが、任意に大きな数のセットを表す機能。任意の数を表すために、MAX_INT無限であることも選択します。（または、他のオブジェクトを使用して状態とシンボルを表すこともできます。）
• テープ用に任意の大きなリンクリストを作成する機能。繰り返しますが、サイズに制限はありません。つまり、テープを作成するためだけに永遠に時間を費やすため、このリストを前もって作成することはできません。しかし、動的メモリ割り当てを使用すれば、このリストをインクリメンタルに作成できます。を使用できますmallocが、もう少し考慮する必要があります。
  • C仕様ではmalloc、利用可能なメモリが使い果たされた場合などに失敗することが許可されています。したがって、私たちの実装は、malloc失敗しない限り真に普遍的です。
  • ただし、メモリが無限にあるマシンで実装を実行する場合、malloc失敗する必要はありません。C標準に違反することなく、私たちの実装はそれmallocが決して失敗しないことを保証します。
• ポインターの逆参照、配列要素の参照、およびリンクリストノードのメンバーへのアクセス。

したがって、上記のリストは、仮想C実装でチューリングマシンを実装するために必要なものです。これらの機能は終了する必要があります。ただし、それ以外のものは終了しないようにすることができます（標準で要求されている場合を除く）。これには、算術演算、IOなどが含まれます。

ここでの主な論点は、size_tのサイズは有限ですが、無限に大きくなる可能性があるということです。

回避策はありますが、これがISO Cと一致するかどうかはわかりません。

無限のメモリを持つマシンがあると仮定します。したがって、ポインタのサイズに制限はありません。あなたはまだあなたのsize_tタイプを持っています。sizeof（size_t）とは何かを尋ねると、答えはただsizeof（size_t）になります。たとえば、100を超えるかどうかを尋ねると、答えはイエスです。sizeof（size_t）/ 2を尋ねると、答えはまだsizeof（size_t）であると推測できます。あなたがそれを印刷したいなら、私たちはいくつかの出力に同意することができます。これら2つの違いは、NaNなどです。

要約すると、size_tの条件を制限してサイズを制限しても、既存のプログラムが破損することはありません。

PSメモリsizeof（size_t）の割り当ては引き続き可能です。必要なサイズだけが必要なので、すべての偶数（または同様のトリック）を取るとしましょう。

はい、そうです。

1.引用された回答

私の（および他の）正解に対する大量の下票に対する反応として-誤解の驚くほど高い承認と比較して-私はあまり理論的に深遠な代替説明を探しました。これを見つけました。ここでよくある間違いのいくつかをカバーして、もう少し洞察が得られるように願っています。引数の重要な部分：

[...]彼の議論は次のとおりです。実行中に任意の量のストレージを必要とする可能性のある終了プログラムを作成したと仮定します。そのプログラムを変更することなく、事後的に、この計算に対応するのに十分なストレージを提供するコンピューターハードウェアとそのCコンパイラーを実装することができます。これには、charの幅（CHAR_BITS経由）および/またはポインター（size_t経由）を広げる必要がありますが、プログラムを変更する必要はありません。これが可能であるため、Cは実際にプログラムを終了するためのチューリング完全です。

この引数の扱いにくい部分は、プログラムの終了を検討する場合にのみ機能するということです。終了プログラムには、ストレージ要件に静的な上限があるという素晴らしい特性があります。これは、「適合する」まで、ストレージサイズを増やしながら目的の入力でプログラムを実行することで実験的に決定できます。

私が一連の思考で誤解を招いた理由は、「有用な」終了しないプログラムの幅広いクラスを検討していたからです[...]

要するに、すべての計算可能な関数にはC言語の解決法がある（上限がないため）ため、すべての計算可能な問題にはCプログラムがあり、したがってCはチューリング完全です。

2.私の元の答え

理論的なコンピューターサイエンスの数学的概念（チューリング完全性など）と実際のアプリケーション、つまり実用的なコンピューターサイエンスの技術との間には、広範囲にわたる混乱があります。チューリング完全性は、物理的に存在するマシンまたは時空制限モデルのプロパティではありません。これは、数学理論の特性を記述する抽象的なオブジェクトです。

C99は、実質的に他の一般的なプログラミング言語と同様に、実装ベースの制限に関係なくチューリング完全です。これは、機能的に完全な論理接続セットを表現でき、原則として無制限の量のメモリにアクセスできるためです。人々は、Cが制限されることを明示的にランダムメモリアクセスを制限することを指摘しているが、これはチューリング完全性がされている間、これらはさらに、C標準で制限を明記しているので、1は回避できなかったものではありませんそれらなし伴うすでに：

これは、非構造的証明に十分な論理システムに関する非常に基本的なことです。論理的結果のセットがXであるような、いくつかの公理図式とルールをもつ計算を考えてみましょう。ここで、いくつかのルールまたは公理を追加すると、論理的結果のセットが大きくなります。つまり、Xのスーパーセットでなければなりません。 、モーダルロジックS4はS5に適切に含まれています。同様に、チューリング完全な下位仕様があるが、いくつかの制限を上に追加する場合、これらはXの結果を妨げません。つまり、すべての制限を回避する方法が必要です。チューリング完全でない言語が必要な場合は、計算を拡張するのではなく、縮小する必要があります。何かが不可能であると主張する拡張機能ですが、実際には矛盾を追加するだけです。ただし、チューリング完全性が実際のアプリケーションとは無関係であるように、C標準のこれらの矛盾は実際的な結果をもたらさないかもしれません。

再帰の深さに基づいて任意の数値をシミュレートする（つまり、スケジューリング/擬似スレッドを介して複数の数値をサポートする可能性がある、Cの再帰の深さに理論的な制限はない）、またはファイルストレージを使用して無制限のプログラムメモリをシミュレートする（idea）おそらく、C99のチューリング完全性を建設的に証明する無限の可能性のうち2つだけです。計算可能性のために、時間と空間の複雑さは無関係であることを思い出すべきです。特に、チューリング完全性を偽造するために限られた環境を仮定することは、その制限が前提の複雑さの限界を超えるすべての問題を除外するため、単なる循環推論です。

（注：私はこの答えを書いたのは、ある種のアプリケーション指向の制限された思考のために人々が数学的な直観を得るために止められないようにするためです。ほとんどの学習者はより多くの人々がそのような誤った信念を広めるための推論の基本的な欠陥。この答えに反対票を投じれば、あなたは問題の一部に過ぎない。）