CLRSのd-aryヒープ問題

次の問題（質問1〜3）を解決しているときに混乱しました。

質問

D進ヒープは、バイナリヒープ似ているが、（一つの可能な例外を除いて）は、非リーフノードが有するD子供の代わりに、2人の子供。

1. 配列のd- aryヒープをどのように表現しますか？

2. n要素とd要素のd- aryヒープの高さは、nとdで何ですか？

3. d -ary max-heap でのEXTRACT-MAXの効率的な実装を提供します。実行時間をdおよびnで分析します。

4. _{d -ary max-heap でのINSERTの効率的な実装を提供します。実行時間をdおよびnで分析します。}

5. _{INCREASE-KEY（A、i、k）の効率的な実装を提供します。これは、k <A [i] = kの場合にエラーにフラグを立て、d進行列のヒープ構造を適切に更新します。実行時間をdおよびnで分析します。}

私の解決策

1. 配列$A[a_1 .. a_n]$

   $\qquad \begin{align} \text{root} &: a_1\\ \text{level 1} &: a_{2} \dots a_{2+d-1}\\ \text{level 2} &: a_{2+d} \dots a_{2+d+d^2-1}\\ &\vdots\\ \text{level k} &: a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k-1}d^i} \dots a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k}d^i-1} \end{align}$

   → 私の表記は少し洗練されているようです。他にもっと簡単なものはありますか？

2. してみましょうhは高さ表すD進ヒープを。

   ヒープが完全なd- aryツリーであるとします

   $$1+d+d^2+..+d^h=n\\ \dfrac{d^{h+1}-1}{d-1}=n\\ h=log_d[n{d-1}+1] - 1$$

3. これは私の実装です：

   EXTRACT-MAX(A)
   1  if A.heapsize < 1
   2      error "heap underflow"
   3  max = A[1]
   4  A[1] = A[A.heapsize]
   5  A.heap-size = A.heap-size - 1
   6  MAX-HEAPIFY(A, 1)
   7  return max
   
   MAX-HEAPIFY(A, i)
   1  assign depthk-children to AUX[1..d]
   2  for k=1 to d
   3      compare A[i] with AUX[k]
   4      if A[i] <= AUX[k]
   5          exchange A[i] with AUX[k]
   6          k = largest
   7  assign AUX[1..d] back to A[depthk-children]
   8  if largest != i
   9      MAX-HEAPIFY(A, (2+(1+d+d^2+..+d^{k-1})+(largest-1) )
   

   • MAX-HEAPIFYの実行時間：

     C

     $$T_M = d(c_8*d + (c_9+..+c_13)*d +c_14*d)$$ ここで、は上のi行目のコストを示します。$c_i$

   • EXTRACT-MAX：

     $$T_E = (c_1+..+c_7) + T_M \leq C*d*h\\ = C*d*(log_d[n(d-1)+1] - 1)\\ = O(dlog_d[n(d-1)])$$

   → これは効率的な解決策ですか？または私のソリューションに何か問題がありますか？

1. あなたのソリューションは有効であり、d- aryヒープの定義に従います。しかし、あなたが指摘したように、あなたの記法は少し洗練されています。

   あなたは親の取得するために、これら二つの以下の機能を使用する場合がありますI番目の要素とJ番目の子I番目の要素を。

   $\text{d-ary-parent}({\it i}) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ \lfloor (i-2)/d + 1 \rfloor$

   $\text{d-ary-child}(i, j) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ d(i-1)+j+1$

   $1 \le j \le d$$\text{d-ary-parent}(\text{d-ary-child}(i,j)) = i$

   $d$$d=2$$d$$2$

2. 私があなたの答えを正しく理解していれば、幾何学的な進行を使用します。あなたの場合、あなたは行く、これは明らかに log d（$h = log_d(n\,d-1+1) - 1$$\log_d(n\,d) - 1 = \log_d(n) + \log_d(d) - 1 = \log_d(n) + 1 - 1 = \log_d(n)$$\Theta(\log_d(n))$

   $c$$\Theta$

3. $AUX$$\text{d-ary-parent}$$\text{d-ary-child}$

   $\text{EXTRACT-MAX}$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O(d\ \log_d(n(d-1)))$

   $O(d\ \log_d(n(d-1))) = O(d(\log_d(n) + \log(d-1))) = O(d\ log_d(n) + d\ \log_d(d-1))$

   $d \ll n$$d \log_d(d-1)$$O(d\log_d(n))$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O$$\Theta$

4. CLRSブックには、すでにINSERTプロシージャが用意されています。これは次のようになります。

   $\text{INSERT}(A, key)\\ \ \ \ \ A.heap\_size = A.heap\_size + 1 \\ \ \ \ \ A[A.heap\_size] = -\infty\\ \ \ \ \ \text{INCREASE-KEY}(A, A.heap\_size, key)$

   $O(\log_d(n))$

5. INSERTと同様に、INCREASE-KEYも教科書で次のように定義されています。

   $\text{INCREASE-KEY}(A, i, key)\\ \ \ \ \ {\bf if}\ key < A[i]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bf error} \text{"new key is smaller then current"}\\ \ \ \ \ A[i] = key\\ \ \ \ \ {\bf while}\ i > 1\ and\ A[i] > A[\text{d-ary-parent}(i)]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ A[i] \leftrightarrow A[\text{d-ary-parent(i)}]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ i = \text{d-ary-parent(i)}$

   $O(\log_d(n))$

2番目の質問の答えはh = log _d（n（d-1）+ 1）-1なので、h = log _d（nd-n + 1）-1