深さ優先検索の時間の複雑さ[終了]

初心者の質問をすることを許してください。しかし、私はアルゴリズムと複雑さの初心者であり、特定のアルゴリズムの複雑さがどのようにして生じたのか理解するのが難しい場合があります。

コーメンのアルゴリズムの紹介から DFSアルゴリズムを読んでいましたが、これがアルゴリズムでした。

G        -> graph
G.V      -> set of vertices in G
u.π      -> parent vertex of vertex u
G.Adj[u] -> adjacency list of vertex u


DFS(G)
1   for each vertex u ∈ G.V
2       u.color = WHITE
3       u.π = NIL
4   time = 0
5   for each vertex u ∈ G.V
6       if u.color == WHITE
7         DFS-VISIT(G,u)

DFS-VISIT(G,u)
1   time = time + 1            // white vertex u has just been discovered
2   u.d = time
3   u.color = GRAY
4   for each v ∈ G.Adj[u]      // explore edge u
5       if v.color == WHITE
6           v.π = u
7           DFS-VISIT(G,v)
8   u.color = BLACK            // blacken u; it is finished
9   time = time + 1
10  u.f = time

次に、行1-3と5-7が表示されO(V)、への呼び出しを実行する時間を除きますDFS-VISIT()。ではDFS-VISIT()、すべての頂点の隣接リストの合計がエッジの数であるため、行4-7はO(E)です。そして、それは全体の複雑さがあると結論付けDFS()ていますO(V + E)。

それがどうして起こったのか分かりません。内部DFS-VISIT()で呼び出され DFS()ます。ラインあれば、5-7のがDFS()あるO(V)とDFS-VISIT()されO(E)、その後、全体の時間の複雑さはいけませんDFS()ことO(VE)？

本は、DFS-VISITサブルーチンの各呼び出しで実行される回数ではなく、DFSの呼び出しの実行全体を通して各行が実行される回数をカウントしています。おそらく、次の簡単な例でこれが明らかになるでしょう。

PROCEDURE A(n)
1  global = 0
2  for i from 1 to n:
3      B(i)
4  return global

PROCEDURE B(i)
1  global = global + 1

Aを実行するたびに、Bの行1が回実行され、B自体が回実行されます。それにもかかわらず、実行時間はではなく。$n$$n$$O(n)$$O(n^2)$

次に、配列が関係する別の例を示します。$T[1\ldots n]$

PROCEDURE COUNT(n, T[1...n]):
1  count = 0
2  index = 1
3  while index <= n:
4    ADVANCE()
5    count = count + 1
6    index = index + 1
7  return count - 1

PROCEDURE ADVANCE():
1  while index <= n and T[index] == 0:
2    index = index + 1

プロシージャCOUNTは、入力配列T内の1の数をカウントします。ADVANCEはCOUNT によって回まで呼び出すことができ、ADVANCE の最悪の実行時間は、ADVANCEの行1〜2は最大で実行されます回、全体の実行時間があるので、ではなく。$n$$O(n)$$n$$O(n)$$O(n^2)$