NFAのDFAが指数関数的な状態を持つことができることを証明するにはどうすればよいですか？

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すべての非決定性有限オートマトンは、同等の決定性有限オートマトンに変換できます。ただし、確定的有限オートマトンでは、状態からポイントするシンボルごとに1つの矢印しか使用できません。したがって、その状態はNFAの状態のパワーセットのメンバーである必要があります。これは、DFAの状態の数がNFAの状態の数に関して指数関数的にスケーリングできることを示しているようです。しかし、私は実際にこれをどのように証明するのか疑問に思っていました。

automata finite-automata nondeterminism

— ジョン・ホフマン
ソース

7

それは合理的な質問であり、構成は完全には明らかではありませんが、それでも宿題の質問かもしれません。だから、あなたが知りたい理由を聞くことは助けになるでしょう。

ここにはいくつかの構造がありますが、どこかの論文にあるべきです。refを知らない。また、NFAがそのアクティブ状態でバイナリでカウントし、約

遷移後にのみ受け入れるような構造があると思います...？

2^{n}

$2^n$

— vzn

cs.stackexchange.com/questions/3381/

— ジル「SO-悪であるのをやめ

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NFAを別のNFAに変換するが、DFAの変換を行わない1つの操作は反転です（逆方向にすべての矢印を指し、初期状態を受け入れ状態に交換します）。形質転換されたオートマトンによって認識される言語は逆言語である。 $L^R = \{u_{n-1}\ldots u_0 \mid u_0\ldots u_{n-1} \in L\}$

したがって、1つのアイデアは、非対称構造を持つ言語を探すことです。今後、この言語は、状態のみを必要とする最初のシンボルを検査することで認識されるはずです。後方に戻ると、最後の状態のメモリを保持する必要があります。これには、状態が必要ですはアルファベットサイズ）。 $n$ $n + O(1)$ $n$ $A^n + O(1)$ $A$

形式の言語を探しています。ここでは長さの単語から成り、はアルファベットの重要なサブセットであり、はそれ以上の制約を提供しません。同様に、最も単純なアルファベット（シングルトンアルファベットでは対応できず、小さいNFAを取得しない）とます。自明でないは意味します。はどうかと言うと $M_n S M'$ $M_n$ $n$ $S$ $M'$ $\mathscr{A} = \{a,b\}$ $M' = \mathscr{A}^*$ $S$ $S = \{a\}$ 、相関しないことを要求します（逆言語のDFAがのメモリを保持する必要があるように）：ます。 $M_n$ $S$ $S$ $M_n = \mathscr{A}^n$

したがって、ます。状態の単純なDFAによって認識されます。 $L_n = (a|b)^n a (a|b)^*$ $n+2$

dfa

逆にすると、を認識するNFAが生成されます。 $L_n^R = (a|b)^* a(a|b)^n$

NFA

最小DFA認識少なくとも有し、の状態を。これは、長さすべての単語がDFAで異なる状態に到達する必要があるためです。（換言すれば、それらは別個に属するMyhill-Nerodeさんの同値類。）この2つの異なる単語を取ることを証明するためにおよびlet 、それらが（異なる位置である）。一般性を失うことなく、仮定しましょう $L_n^R$ $2^{n+1}$ $2^{n+1}$ $u,v \in \mathscr{A}^{n+1}$ $k$ $u_k \ne v_k$ と。次いで、及び（のための特徴的な拡張であり、および）。場合および DFA認識に同じ状態につながったそのように希望及び $u_k = a$ $v_k = b$ $u b^k \in L_n^R$ $v b^k \notin L_n^R$ $b^k$ $u$ $v$ $u$ $v$ $L_n^R$ $u b^k$ $v b^k$ 、一方は受け入れ状態になり、もう一方は受け入れ状態にならないため、不可能です。

謝辞：この例は、説明なしでウィキペディアで引用されました。この記事は、私が読んだことのない、より
きびしい記事への参照を提供します。Leiss、Ernst（1981）、「ブールオートマトンによる正規言語の簡潔な表現」、Theoretical Computer Science 13（3）：323–330、doi：10.1016 / S0304-3975（81）80005-9。

— ジル「SO-悪であるのをやめる」
ソース

論理的な答え：DFAの状態はメモリ（オン/オフファンスイッチなどの情報を格納するため）として使用されるため、DFAの単一の状態で表現できるものは、同等のNFAの状態の組み合わせを使用して表現できます。これが、同等のDFAと比較してNFAの状態が少ない理由です。あなたが持っている場合今

セットでの状態を

、その後のすべての可能な組み合わせのセット

であるパワーセットで

我々はのNFA逆のであれば、

の等価DFAに状態を、その後、DFAはせいぜいから構成されます

状態。–それは理にかなっていますか？

n

$n$

Q

$Q$

Q

$Q$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

2^{n}

$2^n$

— グリジェシュショーハン14

1

@GrijeshChauhanこれは質問が尋ねたものではありません。はい、

状態を持つすべてのNFAに、最大

状態を持つDFAがあることは簡単にわかります。しかし、ここで我々はすべてのためにということ、すなわち、束縛が到達していることを確認したい

あり

最小の同等のDFAが持っている-state NFAは、少なくとも

の状態（またはそれに近いが、ここで私はバインドされた証明

）。

n

$n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n

$n$

2^{n}

$2^n$

2^{n - 1}

$2^{n-1}$

— ジル 'SO-悪であるのをやめる' 14

うーん...あなたの答えを2回読んだ後、コメントから「しかし、ここでは限界に達したことを確認したい」と理解できました。ありがとう。

— グリジェシュショーハン14

8

言語の次の家族考える： $L_n = \{ x_1, x_2, \ldots, x_k \# x_{k+1}: \exists i \in \{1, \ldots, k\} \text{ with } x_i = x_{k+1} \}$

$L_n$ $\{\#, 1,\ldots, n \}$

$O(n)$ $L_n$ $n$ $i$ $i$ $3$

$L_n$ $2^{O(n)}$ $\{1,\ldots, n\}$

Sipserの本にはこの例があると確信しています。

— 男
ソース

Siperの本の構造は、正確に2 ^ n状態のDFAを生成します。NFAの状態セットがQの場合、DFAの状態セットはPow（Q）であり、NFAが移行する可能性のあるすべての「並列」状態をシミュレートします。標準テキストでこれに使用される構造は、指数状態の可能性を明確に示していますが、これは研究レベルではないようです。ただし、参照リクエストとして適している場合があります。

— ローガンメイフィールド

8

$n$ $n$ $2^n$

また、この例は、補完の下でNFAが指数関数的に爆発する可能性があることを示しています。実際、アルファベットのすべての記号を含むすべての単語の言語のNFA（または文脈自由文法）には、指数関数的な状態数が必要であることが知られています。

— ユヴァル・フィルマス
ソース

1

⋃_{σ \in Σ} (Σ ∖ σ)^{*}

$\bigcup_{\sigma \in \Sigma} (\Sigma \setminus \sigma)^*$

Σ

$\Sigma$

n

$n$

O (n^{2})

$O(n^2)$

2 n \cdot 2^{n}

$2n \cdot 2^n$

この例のポイントは、爆発がパワーセットの構造と正確に一致することです。同じ爆発を伴うバイナリの例もありますが、より複雑です。

— ユヴァルフィルマス

うん、いい例です。

— 6005

1

O (n \log n)

$O(n\log n)$