メディアントを使用したブラケット検索の複雑さは何ですか？

Rekoデコンパイラー用に作成したアルゴリズムの複雑さを推定しようとしています。ここで、コンパイラーが定数による整数除算に行った変換を「取り消す」ようにしています。コンパイラーは除算を整数の乗算とシフトに変換しました：、ここではコンピューターのマシンワードのビット数です。結果の定数乗算は、ほとんどの現代的なアーキテクチャでの除算よりもはるかに高速ですが、元のコードに似ていません。（X * ⌊ 2 β / N ⌋ ）> > β $x / n$$(x * \lfloor 2^\beta / n \rfloor) >> \beta$$\beta$

説明するには：Cステートメント

y = x / 10;

Microsoft Visual C ++コンパイラによって、次のアセンブリ言語にコンパイルされます

mov edx,1999999Ah  ; load 1/10 * 2^32 
imul eax           ; edx:eax = dividend / 10 * 2 ^32 
mov eax,edx        ; eax = dividend / 10

最終的な結果は、レジスタeaxがyソースコードからの期待値を持つようになることです。

素朴な逆コンパイラは上記を逆コンパイルします

eax = ((long)eax * 0x1999999A) >> 32;

しかし、Rekoは、元の除算で使用されていた定数を復元することにより、結果の出力を読みやすくすることを目指しています。

上記で示唆されたアルゴリズムは、Wikipediaのこの記事の説明に基づいています。まず、アルゴリズムは定数乗数をスケーリングされた逆数として扱います。これは、浮動小数点数への変換を、次いでによってそれをダウンスケーリングに、。最後の高価なステップは、2つの有理数、（0/1と1/1で始まる）の間の浮動小数点値、値を繰り返し計算することです。$2^\beta / n$2 β R F 0.0 < RのF < 1.0 R F / B 、C / D （+のC ）/（B + D ）のR のR $2^\beta r_f$$2^\beta$$r_f$$0.0 < r_f <1.0$$r_f$$a/b$$c/d$ $(a + c)/(b + d)$いくつかの収束基準に達するまで。結果は、逆数に対する「最良の」有理近似になります。$r$$r_f$

ここで、ブラケット0/2と間で始まり、中点を計算する一般的なバイナリ検索でブラケットが行われていた場合、アルゴリズムがステップで収束することを期待しています。しかし、代わりにメディアントが使用されている場合、アルゴリズムの複雑さはどうなりますか？$0/2^\beta$$2^\beta/2^\beta$ $(a/b + c/d)/2$$O(\beta)$

Stern–BrocotツリーとFareyシーケンスの間の関係は、かつ（p 、q ）= 1（つまり、p / qは縮小分数）の場合、p / qはq番目のレベルにあることを示しています木の。アルゴリズムの実行期間は終了するレベルで線形であるため、アルゴリズムには時間がかかりますO （q ）。ここで、p / qが答えです。しかし、これはあまり役に立ちません。$0 < p/q < 1$$(p,q) = 1$$p/q$$p/q$$q$$O(q)$$p/q$

あなたの停止基準が何であるかを指定していないが、おそらくあなたは、いくつかのエラーしきい値持って。したがって、問題は、隣接する項が最大2 ϵの距離にある場合（したがって、すべての点は、ある点からϵの距離にある）の場合、どのFareyシーケンスかということになります。Fareyシーケンスの隣接する分数p 1 / q 1、p 2 / q 2間の距離が1 /（q 1 q 2）であるという事実を使用して、q番目のFareyシーケンスでの最大距離を示すことは難しくありませんです$\epsilon$$2\epsilon$$\epsilon$$p_1/q_1,p_2/q_2$$1/(q_1q_2)$$q$。したがって、 ϵの距離を狙っている場合、最悪の場合、アルゴリズムは時間 O （1 / ϵ ）で実行されます。$1/q$$\epsilon$$O(1/\epsilon)$

ただし、番目のファレイシーケンスの「最も」隣接する部分は距離O （1 / q 2）にあるため、平均してO （$q$$O(1/q^2)$（残念ながら、この平均はアルゴリズムではなく入力に関するものです）。$O(\sqrt{1/\epsilon})$