反転の数を最小限に抑えながらリストに効率的に挿入する

比較可能なアイテムの2つのリストuおよびsを想定します。INV（u）をuの反転数とします。

INV（u）の最小の増加でsの項目をuに挿入する効率的なアルゴリズムを探しています。

基本的に、リストにオブジェクトを挿入し、最初のリストの順序を維持しながら、「可能な限りソートされた」状態に保ちたいと思います。

例：

u = [4,6,2,9,7]
INV(u) = 3 ((4, 2), (6, 2) and (9, 7)

s = [8,3,10]

one optimal solution u' = [3, 4, 6, 2, 8, 9, 7, 10]
INV(u') = 5 ((4, 2), (7, 2) and (9, 7) + (3,2), (8,7))

different optimal solution u' = [3, 4, 6, 2, 9, 7, 8, 10]
INV(u') = 5 ((4, 2), (7, 2) and (9, 7) + (3,2), (9,8))

ご覧のとおり、独自の最適なソリューションはありません。

どんな種類のアイデアや方向性を検討するのがうれしいです。

これはトレボアの答えに関する詳細です。コメントに収まるには長すぎて、彼のソリューションの証拠（または少なくとも私がそれを理解する方法）が含まれています。

最適なソリューションでは、の要素が順序どおりに表示されることを示すことができます。$s$そうでない場合は、と仮定し、最適なソリューションでは逆の順序で表示されます。ましょうσ 1との間の要素の数であり、S 1およびsは2未満であり、S 1およびβ 1がより大きくされているものの数である。も同様におよび定義します。なお、と$s_1 < s_2$$\sigma_1$$s_1$$s_2$$s_1$$\beta_1$σ 2 β 2 S 2 σ 1 ≤ σ 2 β 2 ≤ β $s_1$$\sigma_2$$\beta_2$$s_2$$\sigma_1 \leq \sigma_2$$\beta_2 \leq \beta_1$。スワッピング及びsは2によって反転の数を変更します- β 1 + β 2 - σ 2 + σ 1 - 1、最も-1です。$s_1$$s_2$$-\beta_1 + \beta_2 - \sigma_2 + \sigma_1 - 1$

要素を独立して挿入できることを確認するのは難しくありません。$s$彼らが注文した表示されますので、の要素互いの存在を「感じ」はありません。つまり、からの要素のペアは反転カウントに寄与しません。これを行うには、sの中央値を線形時間で最適に挿入します。次に、再帰的に、中央値の左側に中央値よりも小さいsの要素を挿入し、右側に中央値よりも大きい要素を挿入します。$s$$s$$s$$s$

中央値を位置に挿入すると、この実行時間はT （| s |、| u |）= T （| s | / 2 、| u | − k ）+ T （| s | / 2 、k ）+ | あなた| + | s | 、線形| s $k$$T(|s|, |u|) = T(|s| / 2, |u| - k) + T(|s| / 2, k) + |u| + |s|$$|s|$因子は、中央値を見つけての要素をシャッフルするためのものです。T （| s |、| u |）= O （| s | log | s | + | u | log | s |）であることを、帰納法によって簡単に示すことができます。$s$$T(|s|, |u|) = O(|s| \log |s| + |u| \log |s|)$

依存していることに注意してください。s | ここが最適です。空のuを使用して問題を解決することは、比較のみを使用してsを並べ替えることと同じです。への依存| あなた| また、シングルトンリストsおよびリストu の問題は線形作業を必要とするため、最適です。$|s|$$u$$s$$|u|$$s$$u$

OK、ここに私の解決策があります：

観測（これは多かれ少なかれ証明しました）は、最適なソリューションは常にsが昇順にソートされるものであることです。これにより、O（（| u | + | s |）* log（| s |））アルゴリズムが生成されます。

単一の要素に最適なソリューションを見つけるには、コメントで述べたように、sから1つの要素を取り、左から右にuの各要素と比較し、カウンターを反転させて、以前に計算した数を繰り越します。次に、同じ要素を使用してリストを右から左に走査し、各位置のカウントを増やします。

これはO（| u |）です。

並べ替え

位置mのsの中央要素の場合：uで最適な位置bを見つけます（上記の方法を使用）。

sをmで、uをbで分割し、左部分と右部分で再帰的に呼び出し、結果をmと正しい順序で連結します。

uまたはsが空になったらすぐに停止します。