決定可能性の建設的なバージョン？

今日のランチで、私が育っこの問題を私の同僚で、そして私の驚きに、問題は彼らを説得しなかっ決定可能であることをジェフ・E.の引数は（ここだ mathoverflowに密接に関連する記事）。説明しやすい問題ステートメント（ "is P = NP？"）も決定可能です：はいまたはいいえので、常にこれらの回答を出力する2つのTMの1つが問題を決定します。形式的には、セット：入力1に対してのみ1を出力し、それ以外の場合は0を出力するマシン$S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$それを決定するか、入力に対してそれを行うマシン。$2$

それらの1つは基本的にこの異論に要約しました：それが決定可能性の基準がいかに弱いかである場合-これは、有限であると示すことができる言語として形式化できるすべての質問が決定可能であることを意味します-次に、基準を形式化する必要がありますこのように形式化可能な有限の多くの可能な答えで問題を決定することはありません。以下はより強力な基準である可能性がありますが、決定性はTMを示すことができるかどうかに依存する必要があることを要求することで正確にできる可能性があることを示唆し、基本的には問題の直観主義的な見解を提案します私の同僚のいずれかを行う、それらのすべては除外された中間の法律を受け入れます）。

決定可能性の建設的理論を形式化し、おそらく研究したことがありますか？

あなたが尋ねようとしている質問は「計算可能性理論は建設的ですか？」だと思います。そして、これは興味深い質問です。数学の基礎に関するメーリングリストでのこの議論からわかるかもしれません。

当然のことながら、多くの再帰理論が建設的な感性を持つ人々によって開発されたので、それは考慮されてきました。たとえば、ベッソンの本や由緒あるメタ数学入門をご覧ください。再帰理論の最初の2つの章が最小限の変更で建設的な設定に移行しても存続することは明らかです。

ただし、最初の章の後、状況は少し難しくなります。特に、算術階層の上位レベルは通常、真実の概念によって定義されます。特に、低基底定理などの広く使用されている定理は、明らかに非建設的であるようです。

しかし、おそらくより実用的な対応は、これらの「逆説的に計算可能な言語」は単なる特異性であり、測定不可能な実数のセットのように、かなり長く研究することができます（実際に研究されています）が、最初の驚きは克服すれば、もっと面白いことに進むことができます。

古典的な論理では、どのステートメントでも、すべてのステートメントは真または偽のいずれかです。たとえば、「現実の世界」では、自然数に関する1次のステートメントはいずれもtrueまたはfalseです（このコンテキストでは「true演算」と呼ばれます）。では、ゲーデルの不完全性定理についてはどうでしょうか。それは、真の算術の再帰的に列挙可能な公理化が完了していないことを述べているだけです。

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$いずれかが見つかるまで、それに従って進みます。このマシンがあなたの言語を受け入れることを証明できますが、その言語が正確に何であるかはまだわかりません！

$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

（免責事項、おそらくcstheoryによりよく当てはまるファジーな質問に対するファジーな答え）。構成可能性は理論的な数学では「大したこと」ですが、特に半ば有名なバナッハタルスキパラドックスなどの継続的なコンテキストで現れます。これらのパラドックスは一般に、「これまでのところ」「より離散的な」CSに現れていないようです。では、CSの構成性（のアナログ/パラレル）は何ですか？答えはそれほど明確ではないようです。その概念はCSよりも数学の研究に端を発しており、この2つは「今のところ」あまりにこの特定の核心に結び付けられているようには見えません。

1つの答えは、決定可能性の理論は実際には構成可能性のバリエーションのように見える、つまり、密接に関連していると思われる計算可能なセットを決定する厳密な方法であるということです。

中心にある構成可能性は「ZFCからの独立」のいくつかの問題を扱い、それらの領域は本書ではP対NPについてアーロンソンによって詳細に検討されています。P対NPは正式に独立していますか？。

「パラドックス」が構成可能性の問題を指しているように見えることは実際には示されていませんが、アーロンソンの論文のような大まかな類推の大まかなガイドとして、たとえば特定のベイカーに「逆説的」な風味を持っていると思われるオラクルの結果を検討するかもしれませんGill Solovay 1975の結果によると、オラクルはP ^A = NP ^AおよびP ^B ≠NP ^Bの両方として存在します。thmのような他の逆説的なものは、Blum ギャップとスピードアップ定理です。

また、CS がその基本的な時間/空間階層定理の「時間/空間」構築可能関数に焦点を当てているのは単なる偶然でしょうか。（それから、ブルームのようなパラドックスをほとんど「設計上」除外しますか？）

別の答えは、これは例えばこの発見のように活発な調査/研究の下にあるということです。構成可能性は、数学の「ラージカーディナル」と結びついていることが知られています。無限のゲームの勝利戦略：ラージカーディナルからコンピューターサイエンス /リサーチまで

マーティンは「シャープ」の大きな基本公理を使用して分析的決定性を証明しました。2人のプレーヤー間の完全な情報のすべての無限ゲームにおけるプレーヤーの1人の勝利戦略の存在、ただし、一方のプレーヤーの勝利セットが分析的である場合1。私は彼の証明を修正して補完し、有限状態決定性のラビン、ブエチランドウェーバー、グレビッチハリントンの定理の新しい証明を取得します。状態は受け入れました。