加算、減算、乗算のみを使用して*より大きい*関数を実装することは可能ですか？

すべての値は有限フィールドです。これ以上の機能を書きたい $Z_t$

$GT(x,y) = \begin{cases} 1, & \text{if } x > y, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

加算、乗算、減算のみを使用し、除算は使用しないでください。

等式関数

$EQU(x,y) = \begin{cases} 1, & \text{if } x == y, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

このように計算できます

$EQU(x,y) = 1 - (x-y)^p$ 、ここで、pはオイラーの傾斜関数です。これは、が素数であるためです。 $p=phi(t)=t-1$ $t$

大なり関数は同様の方法で記述できますか？

より大きい関数は、準同型暗号化アプリケーションが暗号化された整数のベクトルから最大整数値を見つけるために使用されます。

algorithms linear-algebra

— user2991856
ソース

最後の方程式は機能しません。（ただ、以上1によって異なり、xとyしてみてください）

有限体にはそれ以上の合理的なものはありません。

— k.stm 2016年

@RickyDemerを置き換えた場合に機能します。有限体では、すべてのに対して、です。

t

$t$

t - 1

$t-1$

ℤ_{t}

$ℤ_t$

α \in ℤ_{t}

$α ∈ ℤ_t$

α \neq 0

$α ≠ 0$

α^{t - 1} = 1

$α^{t-1} = 1$

— k.stm 2016年

あるスペースZ_tからのメッセージ間の準同型比較に、より大きい関数を使用します。ここで、tは2より大きいです。このペーパーのセクション3では、acad.ro / sectii2002 / proceedings / doc2015-3s / 08-Togan.pdfはバイナリ値のより大きい関数の多項式が与えられます。計算が可能であれば、同じ機能を整数値に使用したいと思います。

— user2991856 2016年

これはCSとどのような関係がありますか？なぜこれがMathOverflowやMathematicsにないのですか？

— 猫

有限体すべての関数は、最大で個別次数の多項式として一意に表すことができます。 $GF(q)$ $q-1$

実際、あなたが言及しているように、は、場合に限り、等しい多項式です。したがって、任意の関数を変数で次の形式で表すことができます：変量関数の空間の次元はあり、最大でも個の次数の単項式の数も、この表現は一意であると結論付けます。 $1-x^{q-1} = [\![x=0]\!]$ $1$ $x=0$ $f\colon GF(q)^n \to GF(q)$ $x_1,\ldots,x_n$

\underset{t_{1} 、 \dots 、 t_{ん} \in G F （ q ）}{Σ} f （ t_{1} 、 \dots 、 t_{ん} ） Π_{私 = 1}^{ん} （ 1 - （ {バツ}_{私} - t_{私} ）^{q - 1} ） 。

$\sum_{t_1,\ldots,t_n \in GF(q)} f(t_1,\ldots,t_n) \prod_{i=1}^n \left(1-(x_i-t_i)^{q-1}\right).$

n

$n$

q^{n}

$q^n$

q - 1

$q-1$

q^{n}

$q^n$

— ユヴァルフィルムス
ソース

え？質問に答えていないようです。何らかの意味ですべての関数を構築できると主張しているようです...しかし、それを構築する方法（特に1つ、または要求されたもの）を記述していないようです...

— vzn

@vznすべての関数を構築できる場合、特定の関数をすべて構築できます。

— Yuval Filmus

私はそれを構築する方法を理解していなかったので、関数の説明はより高く評価されます。

— user2991856 2016年

すべての関数機能する式を示します。関数を置き換えるだけです。結果は必ずしもきれいであるとは限りませんが、関数を計算する多項式になります。

f

$f$

f

$f$

— Yuval Filmus

おそらく、おそらく、に対して妥当なを計算する関数はありません。定義に落ち着くまではわかりません。

>

$>$

G F (q)

$GF(q)$

— Rick Decker