「最小限の」直観主義型理論？

型理論に人々が新しい型を追加し続けていることに驚いていますが、最小理論について言及している人はいないようです（または、私はそれを見つけられません）。数学者は最小限のものが大好きだと思いませんか？

私が正しく理解すれば、命令型のPropλ-abstractionとΠ-typesの型理論で十分です。十分だと言うことで、直観主義的な論理として使用できるということです。他のタイプは次のように定義できます。

⊥ \overset{d e f}{=} Π α : P r o p . α \neg A \overset{d e f}{=} A \to ⊥ A \land B \overset{d e f}{=} Π C : P r o p . (A \to B \to C) \to C A \lor B \overset{d e f}{=} Π C : P r o p . (A \to C) \to (B \to C) \to C \exists_{x : S} (P (x)) \overset{d e f}{=} Π α : P r o p . (Π x : S . P x \to α) \to α

$\bot \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. \alpha \\ \neg A \stackrel{def}{=} A \to \bot \\ A \land B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to B \to C) \to C \\ A \lor B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to C) \to (B \to C) \to C \\ \exists_{x: S}(P(x)) \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. (\Pi x: S. P x \to \alpha) \to \alpha \\$

私の最初の質問は、彼ら（λ、Π）は本当に十分ですか？私の2番目の質問は、PropMLTTのように、命令型がない場合、最低限必要なものは何ですか？MLTTでは、Church / Scott / whateverエンコーディングは機能しません。

編集：関連

type-theory dependent-types

— 盛安安
ソース

「最小」タイプとは何でしょうか。あなたの意見では、どのプロパティがありますか？

— ラファエル

Coqが証明できることを証明できますか？明確な答えが心にないことを認めるD：

— 盛安安

しかし、私はCoqがユニバースポリモーフィズムを追加したと聞いたことがありますが、これは明らかに私が提案した最小限のシステムではうまくいきません。「通常の意味でのMLTTが証明できることを証明できること」についてはどうですか。Wタイプをシミュレートできると思いましたか？私は一般的に頭を包みませんでしたが。

— 盛安安

待ってください、Prop私たちは命令的では平等さえ必要としないようです。

— 盛安安

回答:

ガラの明確化を詳しく説明すると、命令型Propと従属型を備えた型理論は、一般に教会の型理論に近い、構造計算のサブシステムと見なすことができます。教会の型理論とCoCの関係はそれほど単純ではありませんが、特にGeuversの優れた記事によって調査されています。

$0\neq 1$

$\Sigma$ $\Pi$ $\mathrm{Bool}$ $\bot$ $\top$ $\mathrm{Bool}$

i f b t h e n ⊤ e l s e ⊥

$\mathrm{if}\ b\ \mathrm{then}\ \top\ \mathrm{else}\ \bot$

メタ数学を行うには、おそらく少なくとも1つのユニバースが必要です（たとえば、ヘイティング算術のモデルを構築するため）。

$\Pi\Sigma$

役に立つ概要は、ZFはハックですか？という記事です。Freek Wiedijkにより、これらすべてのシステムのハード番号（ルールと公理の数）を実際に比較します。

— コーディ
ソース

Σ

$\Sigma$

実際、いいえ、あなたもそれらを引き受ける必要があると思います。私の間違い。

— コーディ

教会のエンコーディングの問題は、あなたのタイプの帰納法の原則を取得できないことです。つまり、それらについてのステートメントを証明することになると、それらはほとんど役に立たないことです。

システムの最小性に関しては、コメントで言及されているパスの1つはコンテナーと（W / M）タイプを使用することですが、それらはむしろ拡張的であるため、CoqやAgdaなどのシステムでの作業にはあまり便利ではありません。

$\Pi$ $\Sigma$ $\mu$ $\nu$

$\mu$ $\nu$

— ガレー
ソース