（木）言語がブチを認識できないことを証明する

私はツリーオートマトンについてのいくつかのノートをレビューしていて、教授が不完全に残した証拠を結論づけようとしています。ステートメントは次のとおりです。

しましょう $A = \{a,b\}$ そして $T = \{t \in T_A^{\omega} \mid \text{every path in $t$ contains a finite number of $a$}\}$。証明してください$T$ ブチは認識できません。

次のツリーのサブセットを定義できます $t_n \subseteq T$ どこ $t \in t_n$ 持っている $a$ 位置： $\epsilon, 1^{m_1}0, 1^{m_1}01^{m_2}0, \ldots, 1^{m_1}01^{m_2}0\ldots1^{m_n}0$ と $m_i > 0$。

今仮定すると $\mathcal{A} = (Q, A, \Delta, q_0, F)$ 認識するブチオートマトンです $T$ と $|Q| = n+1$ そして $q_0$計算のルートにのみ表示されます。しましょう$t \in t_n$ そして $r$ 成功する $\mathcal{A}$ オン $t$。

請求： $\color{red}{\text{There exists $u \leq v < w$ such that $r(u) = r(w) = s \in F$ and $t(v) = a$.}}$

明らかに、主張が真実であることを示す場合、最初のステートメントを証明できます。サブツリーを取得します。 $t_v$ とを取得 $t' \in t_{n+1}$ サブツリーを置き換えることにより $t_w$ と $t_v$。実行が存在することを持っています$r'$ と同じです $r$ の位置まで $w$ と同じ状態のシーケンスに従います $w$ それがしたように $v$、したがって受け入れています。プロセスを繰り返して、無限のブランチを取得します$a$によって受け入れられる $\mathcal{A}$。（これは大まかなアイデアであり、少し形式化が必要ですが、問題のポイントではありません。）

私の質問は次のとおりです。主張をどのように証明しますか？

私は存在することを示すことができます $t' \in t_{2n}$ その特性（これは実際には証明の残りのために十分に良い）で、しかし固定されたものを与えられたものではありません $t_n$ ステートメントは、実行が成功するまで保持されます。

私の考えは単純です： $r$ 存在する必要があることを受け入れています $s \in F$ 通過するパスで無限回繰り返される $1^{m_1}01^{m_2}0\ldots1^{m_n}0$。それから木を取ります$t'' \in t_{n+1}$これは、位置までのと同じですが、そのパス上でであり、ような位置の下にを追加ます。このツリーはまだオートマトンによって受け入れられ、位置までと同じ受け入れランが存在しますが、は同じパスを受け入れるためにを再利用できません（そうでない場合、クレームの3つの状態が見つかりました）したがって、別の状態使用する必要があります。すべての最終状態について繰り返しますは、そのプロパティを実行する必要があることがます。$t_n$$x$$r(x) = s$$a$$r'$$r$$x$$r'$$s$$s'$$t_{2n}$

この種の推論を、などに適用しての結果を取得する方法はありますか？主張がより強い一方で、せいぜい私は、そのプロパティで実行したが存在することを証明できるように見えるかもしれません。それとも私は間違った方向に進んでいますか？$t_{n-1}$$t_{n-2}$$t_n$ $t'' \in t_n$

アイデアはで遊ぶことです $m_i$次のように。

木を考える $t_1$、 $a$ に $\epsilon$、どこにもありません。パスを見てください$1^\omega$—その上での受け入れ実行には、無限に多くの受け入れ状態があります。このような受け入れ状態になるまで待ってから、$a$ で $1^{m_1}0$、 どこ $m_1$ 十分な大きさです。

パスを見てください $1^{m_1}01^\omega$、再び、最終的に受け入れ状態になり、それまでの長さを示します $m_2$、置く $a$ で $1^{m_1}01^{m_2}0$ そして見て $1^{m_1}01^{m_2}01^\omega$。これで、ほぼ希望どおりの状態になりました。$a$それらの間（非公式に言えば）。ただし、両方の受け入れ状態が等しいことはまだ保証されていません。後者を適用するために、我々はのためのプロセスを繰り返します$n$ 時間、したがって受理国家の数を使い果たし、鳩の巣の原理により、2つの受理国家は等しくなければなりません。