「アンチパリンドローム」である言語の例を見つける

LET $\Sigma = \{ 0, 1 \}$ 。言語 $L \subseteq \Sigma^*$ すべての文字列の場合は、「抗回文」性質を持っていると言われている $w$ それは、回文である $w\notin L$ 。また、すべての文字列のため $u$ でない回文のいずれか $u\in L$ または $\mathrm{Reverse}(u) \in L$ 、両方ではない（！）（排他的論理和）。

anti-palindromeプロパティは理解していますが、このプロパティを持つ言語は見つかりませんでした。私は見つけることができる最も近いものがある $\Sigma^* \setminus L$ が、それは排他的または一部を持っていません...であること、例えば、両方の $01$ と $10$ である $L$ 。

誰かが私にこの特性を持つ言語の例を教えてもらえますか？おそらく、これが言語にどのような制限を課すのか見当がつかないため、単一の例よりもさらに多くの可能性があります。（それは非正規である必要がありますか？コンテキストフリー？またはさえありませんか？など） $R$

formal-languages

— マリク・S
ソース

「このプロパティを持つ言語は見つかりませんでした。」-あなたはただそこにあると仮定して、プロパティを与えることで1を定義したいずれかの条件を満たしている言語。

— ラファエル

私は同意しない、彼が定義したのは言語のクラスだった。それは言語の明確な定義を構成するものではありません。

— シュリーシュ

回答:

1つの例は。 $L = \{ x\ \ |\ \ binary(x) < binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$

そしてさらに別の例。 $L' = \{ x\ \ |\ \ binary(x) > binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$

つまり、場合、そのうちの1つだけを選択するルールを作成します。パリンドロームを拒否するようにルールを選択する必要があります（、パリンドロームの場合は）が必要です。また、アルファベットを変更することもできます。簡単な答えを得るためのバイナリアルファベット。 $x \neq x^R$ $f(x) < f(x^R)$ $f(x)= f(x^R)$

上記のとは規則的ではありません。そして、すべてのアンチパリンドローム言語は非正規であり、非RE言語と同じくらい悪いことがあります。決定できない言語の例：その結果、であれば、両方の及び停止または両方及び停止、そうでなければなら $L$ $L'$ $L=\{x\ \ |\ \$ $binary(x)<binary(x^R)$ $x$ $x^R$ $\not\in$ $x$ $x^R$ $\in$ 停止 $x \in$ $\}$

Klaus Draeger explained in the comment below that anti-palindromic language given at the beginning of the answer is context-free: $L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$

— Shreesh
ソース

I see, so it is true that every anti-palindrome language is non-regular. But can it be said that it must be in

R

$R$ ? because even expanding this idea every order/function we will use can be computed with a TM in

R

$R$ ..right?

— Marik S.

@Marik There are well-defined but uncomputable functions. For example mapping from numbers representing M,w in Halting problem to [0,1].

— Shreesh

Yes, but will such functions be able to define a total order on

Σ^{*}

$\Sigma^*$ ?

— Marik S.

Yes. For example

L = {x | x \neq x^{R}, b i n a r y (x) < b i n a r y (x^{R})

$L = \{x | x \neq x^R, binary(x) < binary(x^R)$ if both

x

$x$ and

x^{R} \notin

$x^R \not\in$ or

\in

$\in$ Halt, otherwise

x

$x$ or

x^{R}

$x^R$ whichever is in Halt

}

$\}$ . Halt is all

(M, w)

$(M,w )$ such that

M

$M$ halts on

w

$w$ .

— Shreesh

And if you take diagonalization language then it becomes non-RE.

— Shreesh

About generating a few examples:

Building on the answer of @shreesh, we can prove that every anti-palindrome language must be of the form

L = {x | x < x^{R}} (*)

$L = \{ x \ |\ x < x^R \}\qquad (*)$ for some strict total ordering

<

$<$ .

Indeed, given any anti-palindrome $L$ , we can define an associated $<$ as follows. We start by taking any enumeration $x_0,x_1,\ldots$ of $\{0,1\}^*$ , where each word occurs exactly once. Then, we alter the enumeration: for each pair of non-palindromes $x,x^R$ , we swap their position so to make the one that belongs to $L$ to appear before the other. The new enumeration induces a total ordering $<$ satisfying $(*)$ .

That every $L$ defined as $(*)$ is non-palindrome is trivial, so $(*)$ is a complete characterization of non-palindrome languages.

Addressing the original question, we now know that we can obtain several examples of anti-palindrome languages $L$ by crafting orderings $<$ . We also know that by doing that we are not restricting ourselves to a subclass of languages, losing generality.

About the question "can these languages be regular?":

To prove that any anti-palindrome $L$ is non regular, assume by contradiction it is regular.

Since regularity is preserved by reversal, $L^R$ is also regular.
Since regularity is preserved by union, $L \cup L^R$ , which is the set of all the non-palindromes, is also regular.
Since regularity is preserved by complement, the set of all palindromes is regular.

From the last statement, we can derive a contradiction by pumping. (See e.g. here for a solution)

— chi
ソース

Or more simply, you can observe that in order for a DFA to accept the language of palindromes, it needs to consider the first half of the string while parsing the second half -- but a DFA has a finite number of states and cannot store an arbitrarily long string. It's the same reasoning that shows the language of balanced parentheses is non-regular (paren-depth can be arbitrarily large).

— Kevin

I see, but if any

L

$L$ that has this property if from the form

L = {x | x < x^{R}}

$L=\{ x | x<x^R \}$ does it indicate that every language is also Context Free? Or if not CFL, then must it be in

R

$R$ ? since every order

<

$<$ can be calculated in

R

$R$ with a TM.

— Marik S.

@MarikS. The grammar of rici below proves that

L

$L$ can be context-free. I'm pretty sure that some

L

$L$ is non-recursive, since there are uncountably many such languages -- in my proof above we can make countably infinite choices about which to put first between

x

$x$ and

x^{R}

$x^R$ , and each combination gives a distinct

L

$L$ . So the cardinality of such languages is the same of

{0, 1}^{N}

$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ , which is uncountable.

— chi

For what it's worth, here is a simple context-free grammar for one anti-palindromic language:

\begin{aligned} S & \to 0 S 0 ∣ 1 S 1 ∣ 0 X 1 \\ X & \to ϵ ∣ X 0 ∣ X 1 \end{aligned}

$\begin{align} S &\to 0 S 0 \mid 1 S 1 \mid 0 X 1 \\ X &\to \epsilon \mid X 0 \mid X 1 \end{align}$

(In fact, this is the anti-palindromic language proposed by @shreesh, using lexicographic comparison for the less-than operator.)

— rici
ソース

Which leads to an even more explicit description:

L = {x 0 y 1 x^{R} | x, y \in {0, 1}^{*}}

$L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$ .

— Klaus Draeger