算術*式*の多項式同一性テストは簡単ではありませんか？

多項式同一性テストは、co-RPにあることがわかっているがPにはないことがわかっている問題の標準的な例です。算術回路では、二乗を繰り返すことで多項式の次数を指数関数的に大きくできるため、実際には難しいように見えます。この質問は、これを回避し、問題をランダム化された多項式時間に保つ方法の問題に対処します。

一方、問題が最初に提示されたとき（例：ここ）は、定数、変数、加算、乗算のみを含む算術式でよく示されます。そのような多項式は、入力式の長さで最大でも多項式であり、そのような多項式の場合、出力値のサイズは入力値のサイズの多項式です。しかし、次数多項式は最大で根を持つので、これは簡単なことではありませんか？任意の有理数に対して多項式を評価するだけです$d$$d$ $d + 1$点を区別し、各点で結果がゼロかどうかを確認します。これには多項式の時間しかかかりません。これは正しいです？もしそうなら、なぜ問題の難しさを共有することが不可欠なのに、共有部分式のない算術式が例としてよく使われるのですか？

それが取るに足らないことは知られていない。

多項式無限に多くの根を持っています。（どちらかの変数がゼロの場合、他の変数は多項式の値に影響しません。）$x \cdot y$

単変量多項式、はい、それはそれは簡単です。$p(x)$

$p(x_1,x_2,\dots,x_k)$

$d$$d$$p(x)$$p(x,y) = xy$

CSにおける多項式同一性テストの重要性/硬度を理解するためのより一般的/抽象的な方法です。多項式同一性テストは、ブール回路の複雑さに密接に関連していることが以前から知られているため、現在、熱心に研究されている1つの理由です。2つの任意のブール回路を取り、それらを多変量多項式に変換する（つまり、基本的に1-1マッピングを設定する）ことを想像してください。これはそれほど難しくありません。基本的には0/1の値を使用してfalse / trueを表し、構造は古い論文に設定されています。次に、多項式の根は、式/回路を満たすT / F変数割り当てに対応します。

このセットアップ後のPITは、基本的に2つのバイナリ回路が同等かどうかを決定するのとほぼ同じ問題です。多項式の因数分解とほぼ同等の複雑さを示す他の（新しい）深い証明もあります。[ 1 ]そのため、次のような結果が得られます。PITを「すばやく」解くことができる場合、2つの大きな回路が等価性について「迅速に」比較されることはまずありません。問題を理解するための大まかな方法​​は、ブール回路理論における自明ではない問題とほぼ同等であるということです。