行列のべき乗のためのO（log n）アルゴリズムはありますか？

行列を時間で乗するアルゴリズムはありか？ $n$ $O(\log n)$

私はオンラインで検索してきましたが、今のところ失敗しています。

algorithms matrices

— ジャックH
ソース

固定サイズのマトリックスがあるということですか？実際、マトリックスのサイズが

m

$m$ 場合、

O (l o g n)

$O(log \ n)$ アルゴリズムを見つけることは期待できません。

人々は通常、この問題を行列の力と呼んでいます。行列のべき乗とは、

見つけることを意味します

e^{X}

$e^X$

— Shitikanth、

@Shitikanth Ok、ありがとう。私は今それを変えましょう。

— ジャックH

回答:

以下は、行列べき乗アルゴリズムの疑似コードです。*演算子は通常の行列乗算を示すことに注意してください。 $O(\lg n)$

MATHPOWER (M, n)
if n == 1
    then return M
else
    P = MATHPOWER (M, floor(n/2))
    if n mod 2 == 0
        then return P * P
    else
        return P * P * M

— マッシモカファロ
ソース

未来から来る人にとって、これは恐ろしい答えです。代わりにO（n ^ 3）アルゴリズムがある場合、O（n ^ 3 * log（n））は機能します。以下のYuvalからの回答を参照してください。実際問題として、これは通常、SVD分解によって行われ、D行列のN要素を累乗し、行列を再度乗算します。

— マイケルO

@Michael O、あなたは本当にポイントを逃したと思います。あなたはOP、すなわち、どのように行列を高めるために、求めていたものを誤解乗で。重要なのは、OPでは、実行されるステップ数がであることだけが必要であり、全体の複雑さではなく、行列の順序も考慮する必要があるためです。

n

$n$

O (\lg n) s t e p s

$O(\lg n) steps$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

— Massimo Cafaro、

この場合、対応する漸化式はあるため、提案された分割統治アプローチは、行列の順序が場合にのみ、最悪の場合の複雑さ持ちます。（例として、3 x 3マトリックスの場合、マトリックスの乗算は、定数のスカラー乗算および加算を使用して実行できます）。私が与えたアルゴリズムの1つの可能な適用は、エントリがある行列を試して、番目のフィボナッチ数を計算することです。の乗。

O (\lg n)

$O(\lg n)$

O (1)

$O(1)$

T (n) = T (n / 2) + O (1)

$T(n) = T(n/2) + O(1)$

n

$n$

a_{11} = 1, a_{12} = 1, a_{21} = 1, a_{22} = 0

$a_{11} = 1, a_{12} = 1, a_{21} = 1, a_{22} = 0$

n

$n$

— Massimo Cafaro、

最後に、これはすでに整理され、完全に理解されていることにも注意してください。@ user742によって提供された質問へのコメントを見てください。

— Massimo Cafaro、

他の2つのアルゴリズムが関連する場合とそうでない場合があります。最初のアルゴリズムは行列を対角化し（通常は可能）、として書き込みます。ここで、は一般に複素数値である場合があります。次に計算します。対角行列を乗するのは非常に簡単です。が対角化できない場合は、そのヨルダン形式を見つけて、以前と同様に続行します（今度は、いくつかの二項係数も計算する必要があります）。このアルゴリズムはおそらく数値的に安定していません。 $M = PDP^{-1}$ $M,D$ $M=PD^nP^{-1}$ $n$ $M$

別のアルゴリズムは、がその特性多項式（または最小多項式）を満たすという事実を使用します。いくつかのについてと仮定します特性多項式としましょう）。その後、我々は計算することができる上次いで置換。つまり、という事実を使用してを多項式として計算し、最後にのみの値を代入します。すべての必要な累乗と、のすべての値を事前計算することもできます $M$ $P(M) = 0$ $P$ $M^n$ $\mathbb{R}[M]/(P(M))$ $M$ $M^n$ $P(M) = 0$ $M$ $M$ $M^k \pmod{P(M)}$ $k < 2\deg P-1$ 、そしてこのアルゴリズムはMassimo Cafaroの答えであるアルゴリズムよりも高速である可能性があります。以前のアルゴリズムより数値的に安定している可能性があります。

— ユヴァルフィルムス
ソース