複数のパスの重みが同じである場合、エッジの数が最も少ないソリューションを優先するダイクストラ

したがって、ダイクストラが最小のエッジ数で解を見つけるように、任意のグラフを変更できます。 $G$

すべてのエッジの重みに数値を掛け、重みにを加算して、ソリューションの追加の各エッジにペナルティを課します。 $a$ $1$

$w'(u,v)=a*w(u,v)+1$

これは、すべての値では動作しません。が機能するには、少なくともで必要があります。場合は、この最小数ではありません、それは最短パスを選択しない場合があります。この最小値を見つけるにはどうすればよいですか？ $a$ $a$ $x$ $a$ $x$

Ps。これはレクリエーションで行われました、私はずっと前に宿題を終えました。

algorithms graph-theory shortest-path

— アンファン猫
ソース

2つのパスの重みが等しい場合は、エッジが最も少ないパスを選択する必要があります。ごめんなさい。私はそれを明確にしていないようです。

— Unfun Cat '10 / 10/05

また、追加することによってそれを行うこと

、すべてのエッジの重みに

、M =最小エッジ量E =最短パス内のエッジの数（あなたは最短経路長さがわからない場合でも、全体的または）。

ϵ

$\epsilon$

ϵ < m / e

$\epsilon < m/e$

— BlueRaja-Danny Pflughoeft 2012年

面白い一口、ありがとう。それを見なければならないでしょう。

— Unfun Cat

Aグラフ所与、我々は定義とここで、いくつかのための、質問のコメントで提案されています。 $G = (V,E,w)$ $G'=(V,E,w')$ $w'(e) = aw(e) + 1$ $a = |E| + \varepsilon$ $\varepsilon \geq 0$

補題
レッツにおける経路コストと、すなわち。その後、費用がかかりました、即ち、。 $P$ $G$ $C$ $w(P)=C$ $P$ $aC + |P|$ $G'$ $w'(P) = aC + |P|$

補題はの定義から直接従います。 $w'$

でダイクストラの結果を呼び出します。これは最短経路です。が、内の（すべての最短パスの中で）エッジが最も少ない最短パスではなかったと仮定します。これは2つの方法のいずれかで発生する可能性があります。 $G'$ $P$ $G'$ $P$ $G$

は最短経路ではありません。次に、パスが存在すると。として、これが意味することは上記lemma¹有します。これは、が最短経路として選択されたことと矛盾します。 $P$ $G$
$P'$ $w(P') < w(P)$ $|P|,|P'| \leq |E| \leq a$ $w'(P') < w'(P)$ $P$ 。 $G'$
は最短経路ですが、エッジが少ない最短経路があります。その後、別の最短経路が存在する -すなわち -と。これは、その意味再びその矛盾上記補題により最短経路である。 $P$
$P'$ $w(P) = w(P')$ $|P'| < |P|$ $w'(P') < w'(P)$ $P$ $G'$

両方のケースで矛盾が生じたため、は実際にエッジが最も少ない最短経路です。 $P$ $G$

それは命題の半分をカバーします。何について、つまりと？ $a < |E|$ $a = |E| - \varepsilon$ $\varepsilon \in (0,|E|)$

実際、またはすべての重みが整数であることも必要です。それ以外の場合、では、の重みが少なくともにならない離れて。ただし、これは制限ではありません。すべての重みが整数になるように、常に定数係数でをスケーリングできます。 $a$ $G$ $w(P') < w(P)$ $G'$ $|E|$ $w$

— ラファエル
ソース

私はまだ

という証明を出すことができていません

これが機能する最小の

です。もう少し考えてみます。

a = | E |

$a = |E|$

a

$a$

— ラファエル