何をしてい

何をしてい$\log^{O(1)}n$の平均？

big-O表記は知っていますが、この表記は意味がありません。検索エンジンがこれを正しく解釈する方法がないため、私もそれについて何も見つけることができません。

ちょっとした文脈で、私が見つけた文は「[...] $O(\log n)$空間を使用し、アイテムごとに最大で関数を使用する場合、関数[効率的]を呼び出し$\log^{O(1)}n$ます。」

「」が間違った場所にあるという強い気持ちを少しの間無視し、定義に関係なく耕す必要があります。 F （N ）= ログO （1 ） nは定数が存在することを意味し、KおよびN 0ようなすべてのために、そのN ≥ N 0、F （nは）≤ ログK ⋅ 1 N = ログkは、N。$O$$f(n) = \log^{O(1)}n$$k$$n_0$$n\geq n_0$$f(n) \leq \log^{k\cdot 1}n = \log^k n$

は（log n ）kを意味することに注意してください。log O （1 ） nの形式の関数は多対数と呼ばれることが多く、「fは多対数  n」と言われることがあります。$\log^k n$$(\log n)^k$$\log^{O(1)}n$$f$$n$

あなたはそれがあることを証明するのは簡単だということに気づくでしょう、以来2 のn ≤ kのn個すべてのためのn ≥ 0、kは= 2。2 log n = log O （1 ） nかどうか疑問に思われるかもしれません。答えは十分な大きさのため、以来、イエスであるnは、ログのn ≥ 2、その2 ログのn ≤ ログイン2のnを十分な大きさのために $2n=O(n)$$2n\leq k n$$n\geq 0$$k=2$$2\log n = \log^{O(1)}n$$n$$\log n\geq 2$$2\log n \leq \log^2n$。$n$

関連するメモでは、として書かれた多項式がよく見られます：同じ考えです。$n^{O(1)}$

これは、一般的に受け入れられていることにより、感行うことができ表記の乱用であるプレースホルダ規則を使用すると、ランダウ項見つけるたび：によって（あなたの心で、または紙の上に）それを置き換える任意の関数G ∈ O （f ）。$O(f)$$g \in O(f)$

あなたが見つけたら

$\qquad f(n) = \log^{O(1)} n$

あなたは読むべきです

のためのいくつかの G ∈ O （1 ）$\qquad f(n) = \log^{g(n)} n$$g \in O(1). \hspace{5cm} (1)$

「というの違いに注意してください：ある一定の電力に」G = N ↦ 1 / Nの別個の可能性です。$\log$$g = n \mapsto 1/n$

警告：作者は表記法のさらに多くの乱用を採用している可能性があり、あなたに読んでほしい

いくつかのために、G ∈ O （1 ）$\qquad f(n) \in O(\log^{g(n)} n)$$g \in O(1). \hspace{4.3cm} (2)$

（1）と（2）の違いに注意してください。ここでは同じ値の正の関数セットを定義することができますが、これは常に機能するとは限りません。式の中で気を付けずに動かさないでください！$O$

It means that the function grows at most as $\log$ to the power of some constant, i.e. $\log^2(n)$ or $\log^5(n)$ or $\log^{99999}(n)$...

"At most $\log^{O(1)} n$" means that there is a constant $c$ such that what is being measured is $O(\log^c n)$.

In a more general context, $f(n) \in \log^{O(1)} n$ is equivalent to the statement that there exists (possibly negative) constants $a$ and $b$ such that $f(n) \in O(\log^a n)$ and $f(n) \in \Omega(\log^b n)$.

It is easy to overlook the $\Omega(\log^b n)$ lower bound. In a setting where that would matter (which would be very uncommon if you're exclusively interested in studying asymptotic growth), you shouldn't have complete confidence that the author actually meant the lower bound, and would have to rely on the context to make sure.

The literal meaning of the notation $\log^{O(1)} n$ is doing arithmetic on the family of functions, resulting in the family of all functions $\log^{g(n)} n$, where $g(n) \in O(1)$. This works in pretty much the same as how multiplying $O(g(n))$ by $h(n)$ results in $O(g(n) h(n))$, except that you get a result that isn't expressed so simply.

Since the details of the lower bound are in probably unfamiliar territory, it's worth looking at some counterexamples. Recall that any $g(n) \in O(1)$ is bounded in magnitude; that there is a constant $c$ such that for all sufficiently large $n$, $|g(n)| < c$.

When looking at asymptotic growth, usually only the upper bound $g(n) < c$ matters, since, e.g., you already know the function is positive. However, in full generality you have to pay attention to the lower bound $g(n) > -c$.

This means, contrary to more typical uses of big-oh notation, functions that decrease too rapidly can fail to be in $\log^{O(1)} n$; for example,

A counterexample of a somewhat different sort is that $-1 \notin \log^{O(1)} n$.