Planar 1-in-3 SATの平面性条件

Planar 3SATはNP完全です。平面3SATインスタンスは、次のルールを使用して作成されたグラフが平面である3SATインスタンスです。

1. すべてのおよび頂点を追加し$x_i$$\bar{x_i}$
2. すべての節頂点を追加し$C_j$
3. ペアごとにエッジを追加します$(x_i,\bar{x_i})$
4. 頂点（または）から、それを含む節を表す各頂点にエッジを追加します$x_i$$\bar{x_i}$
5. 2つの連続する変数間にエッジを追加します $(x_1,x_2),(x_2,x_3),...,(x_n,x_1)$

特に、ルール5は、句を2つの異なる領域に分割する「バックボーン」を構築します。

Planar 1-in-3 SATもNP完全です。

しかし、平面1-in-3 SATの場合、平面条件はPlanar 3SATと同じ方法で定義されますか？特に、変数をリンクするバックボーンがあると仮定でき ますか？ $(x_i,x_{i+1})$

はい、できます。実際、もっと強いものが真実であることを示すことさえできます。MulzerとRoteが示すように、Positive Planar 1-in-3-SATとして知られる問題はNP完全です。

このバージョンの1-in-3-SATでは、すべての入力式に以下が必要です。

• 句ごとに3つの変数があり、それらのいずれも否定されない
• 変数の頂点間に「バックボーン」を追加しても、数式のグラフは平面です

削減はPlanar 3-SATからのものです。