有向グラフで指定された2つの頂点間の単純なパスで頂点を見つける方法

有向グラフと2つの異なる頂点SおよびTが与えられた場合、SからTへの少なくとも1つの単純なパス上にあるすべての頂点を見つける多項式時間アルゴリズムはありますか？

Sの後継でありTの先行でもあるすべての頂点を見つけることは難しくありませんが、これは上記のセットのスーパーセットにすぎません。たとえば、次のグラフについて考えてみます。S-> a; a-> b; b-> c; b-> T; c-> a

a、b、cはすべてSの後継でTの前身ですが、SからTへcを通過する単純なパスはありません（cを経由するSからTへのすべてのパスには2回のaとbが含まれるため）。

密接に関連する問題は次のとおりです。有向グラフと3つの異なる頂点SおよびTとIが与えられた場合、SからTへの単純なパスがIを通過するかどうかを決定する多項式時間アルゴリズムがあります。

この後者の問題に対する多項式時間アルゴリズムは、前者に多項式アルゴリズムを構築するために使用できます。これは、Iをグラフ内のすべてのノードで置き換えることによって連続的に適用できるため（または、Sの後続ノードであるすべてのノードに対してより効率的にTの前身）。

ご回答ありがとうございます。マスターFOO指摘し、第二の問題は-有向グラフを与えられ、三つの異なる頂点及びより単純な経路が存在する場合、決定にを通過する -確かNP完全です。i s t $s, t$$i$$s$$t$$i$

Steven Fortune、John E. Hopcroft、James Wyllieによる論文「有向部分グラフ同相写像問題」、パターングラフは、固定された有向部分グラフ同相写像問題がNP完全であることは明らかです。深さ2の木です。$s \to i \to t$

このペーパーの定義をいくつか次に示します。

サブグラフ同相写像問題は、パターングラフpが入力グラフGのサブグラフに同相写像であるかどうかを決定することです。同相写像は、PのノードをGのノードにマップし、Pの弧をGの単純なパスにマップします。グラフPとGは両方とも有向または両方無向。Pのアークに対応するGのパスは、ペアワイズのノードの素である必要があります。PのノードからGのノードへのマッピングは、指定することも、任意のままにすることもできます。この問題は、一般化されたパス検索の問題と見なすことができます。たとえば、パターングラフが2つの互いに素なアークで構成され、ノードマッピングが指定されている場合、問題は入力グラフ内の指定された頂点間のパスの互いに素なペアを見つけることと同じです。

基本的に、深さ1のツリーであるパターングラフとその逆のグラフ（ルートに円弧が含まれている可能性があります）のみが多項式時間で解くことができます。

Cをすべての有向グラフのコレクションとします。これは、ルートがすべてのアークの先頭であるか、ルートがすべてのアークの末尾であるというプロパティを持つルートと呼ばれる区別されたノードを持つコレクションです。ルートは一部の弧の先頭と末尾の両方になる可能性があるため、ルートでのループが許可されることに注意してください。同様に、ルートのすべてのループが削除され、ノードのペア間の複数のアークが単一のアークにマージされる場合、グラフはCになります。結果のグラフは、高さが最大で1つのツリーになります。

[...]

次に、Cではない各パターンPについて、パターンPの固定部分グラフ同相写像問題がNP完全であることを示します。

まだ証明を読んでいないので、ここで終了します。

私が言及したばかりの問題と、私の同僚の1人が指摘した2つのばらばらのパスの問題には、密接な関係もあります。2つのdijsointパスの問題は次のとおりです。

有向グラフと4つの異なる頂点与えられた場合、からおよびからへの2つのペアワイズノード分離単純パスが存在するかどうかを判断します。s 1 t 2 s 2 t $s_1, t_1, s_2, t_2$$s_1$$t_2$$s_2$$t_2$

有向グラフのこの問題は、NP完全であることがよく知られています。ただし、2つのばらばらのパスの問題から問題単純な変換があります。そのためには、1つのノードと2つのエッジおよびを追加する必要があります。i t 1 → i i → s $s \to i \to t$$i$$t_1 \to i$$i \to s_2$

問題を解く多項式アルゴリズムがあった場合、それを使用して、上記の単純な変換で多項式時間の2つのばらばらのパス問題を解くことができ、それによって問題を解くことができます。s → i → $s \to i \to t$$s \to i \to t$

これはNP難しい問題です。

@article{DBLP:journals/tcs/FortuneHW80,
  author    = {Steven Fortune and
               John E. Hopcroft and
               James Wyllie},
  title     = {The Directed Subgraph Homeomorphism Problem},
  journal   = {Theor. Comput. Sci.},
  volume    = {10},
  year      = {1980},
  pages     = {111-121},
  ee        = {http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(80)90009-2},
  bibsource = {DBLP, http://dblp.uni-trier.de}
}