体積を与えて表面積を最小化するアルゴリズム

次のアルゴリズムタスクを検討してください。

入力：正の整数$n$とその素因数分解
Find：制限に従って、を最小化する正の整数x y + y z + x z x y z = $x,y,z$$xy+yz+xz$$xyz=n$

この問題の複雑さは何ですか？多項式時間アルゴリズムはありますか？NPハードですか？

この問題は基本的に、体積がで寸法がすべて整数であるすべての直方体のうち、表面積が最小のものを求めます。$n$

この問題は、Dan Meyerによって、「1,000人の数学教師が解決できない数学問題」というタイトルで提起されました。これまでのところ、彼が働いていた数学教師の誰も、この問題に対する合理的なアルゴリズムを見つけていません。彼の文脈では、「合理的」の定義は少し不正確ですが、コンピューター科学者として、この問題の複雑さについてより正確な質問をすることができます。

明らかなアプローチは、すべての可能性を列挙することですが、これには指数関数的な時間がかかります。Dan Meyerのブログのコメンターは、残念ながらすべてが間違っていることが判明した多くの効率的な候補アルゴリズムを提案しています。マーティン・ストラウスは、この問題が3パーティションを漠然と連想させるように思われると示唆していますが、それを減らすことはできません。$x,y,z$

また、コメント/回答で私が見たいくつかの誤解を解消させてください。

• 2つの問題の目的関数が異なるため、各数値をそのべき乗に置き換えるだけでは、3分割から減らすことはできません。明らかな削減は単に機能しません。2 $q$$2^q$

• 最適解のいずれピッキング含むことは真実ではない最も近い除数であるとに。私はこれが事実であると仮定している複数の人々を見ますが、実際、それは正しくありません。これは、Dan Meyerのブログ投稿で既に反証されています。たとえば、n = 68を検討します。\ sqrt [3] {68} \ approx 4、および4は68を除算するため、x、y、zの少なくとも1つは4であると考えるかもしれません。ただし、それは正しくありません。最適なソリューションはx = 2、y = 2、z = 17です。別の反例はn = 222、\ sqrt [3] {222} \ approx 6ですが、最適なソリューションはnは3 $x,y,z$$n$ N=683$\sqrt[3]{n}$$n=68$、X、Y、Z、X=2、Y=2、Z=17、N=2223$\sqrt[3]{68} \approx 4$$x,y,z$$x=2$$y=2$$z=17$$n=222$X=$\sqrt[3]{222}\approx 6$$x=37$、$y=3$、$z=2$。（可能性があるすべてのためには事実である$n$、最適なソリューションを作ることを含むの少なくとも一方において$x,y,z$最小の除数のいずれかに等しくなる$n$より大きい$\sqrt[3]{n}$ 、または最大約数$n$より小さいより$\sqrt[3]{n}$ -私は今反例を持っていない- 。。しかし、あなたはこの文が真であると思われる場合、それは証明必要があるでしょうあなたは絶対にそれが真実であると仮定することはできません）

• 「同じサイズにする」は、すべての場合に必ずしも最適な答えをもたらすとは限りません。反例については、Dan Meyerのブログ投稿を参照してください。または、少なくとも、「ほぼ同じサイズにする」というフレーズの合理的な解釈については、この戦略が実際には最適ではないことを示す反例があります。その種の戦略を試してみたい場合は、主張を正確に述べてから、慎重な数学的証明を提供してください。$x,y,z$

• の実行時間は多項式ではありません。この問題をPにするには、実行時間は入力の長さの多項式でなければなりません。入力の長さのようなものです、ない。明白なブルートフォースアルゴリズムは、または時間で実行することができますが、それは指数関数的であるため、指数関数的アルゴリズムとしてカウントされます。したがって、それは役に立ちません。$O(n^3)$$\lg n$$n$$O(n^3)$$O(n^2)$$\lg n$

「キューブルートに近い除数を選択」アルゴリズムの修正版を以下に示します。それでも多くのケースをブルートフォースする必要があるので、すべてのケースの列挙に対してどれだけのスピード向上が得られるかはわかりません。ただし、少なくとも正確である必要があると考えているため、OEISのアルゴリズム（誤った結果を生成したアルゴリズム）の修正として提出しました。

体積nが与えられた直角プリズムの（s1、s2、s3）および表面積を見つけるアルゴリズムは次のとおりです。

1. nが与えられたら、キューブルートを見つけます。
2. そのキューブルートの天井に初期値整数s1を設定します。
3. s1がnの約数であるかどうかをテストし、そうでない場合はs1を1減らします。
4. 除数s1が見つかった場合、初期s2を（n / s1）の平方根の上限に設定します。
5. 次に、s2がn / s1の約数であるかどうかをテストし、そうでない場合はs2を1減らします。
6. 除数s2が見つかると、s3はn /（s1 * s2）に設定されます。
7. 現在の表面積は、2 *（s1 * s2 + s1 * s3 + s2 * s3）で計算されます。
8. 現在のSAは現在の最小値と比較されます。最初の表面積が計算された場合、minSAとして保存されます。最初のテストの後、現在のSAがminSAより小さいかどうかをテストし、小さい場合はminSAに保存します。

このアルゴリズムは、トリプル（s1、s2、s3）の一部を列挙しますが、キューブルートの下で除数をテストするだけです。（3つの除数すべてがキューブルートの上にあるとは限らないため）。同様に、s2はn / s1の平方根の下でn / s1の約数をテストするだけでよく、両方の約数が平方根の上にあることはありません）

ステップ3の注：キューブのルートが除数の場合、nはキューブであり、ボックス（s1、s1、s1）からの最小表面積6 * s1 ^ 2で停止できます。

Python：

import math
def minSArectprism(n):
    s1_0 = int(math.ceil(n ** (1 / 3.0))) 
    minSA=-1
    s1 = s1_0
    while s1>=1:
        while n % s1 > 0:  
            s1 = s1 - 1
        s1quot = int(n/s1) 
        s2_0 = int(math.ceil(math.sqrt(n/s1)))
        s2 = s2_0
        while s2>=1:
            while s1quot % s2 > 0:
                s2 = s2 - 1
            s3 = int(n / (s1 * s2))  
            SA = 2*(s1*s2 + s1*s3 + s2*s3)  
            if minSA==-1:
                minSA=SA
            else:
                if SA<minSA:
                    minSA=SA
            s2 = s2 - 1
        s1 = s1 - 1    
    return minSA

素数の分解が与えられない場合、問題はもちろん複雑さの因数分解に関連するでしょう。要因が与えられ、すべての素因数のログを取ると、この問題はパーティション合計の平均からの偏差を最小化することとほぼ同じように見えます（運動、おそらく分析的または実験的に、問題が保持されます）。$k$

これは3方向の場合です（パーティションの合計は）。2方向のケースは広範囲に研究されており、NPが難しい（¹ ref から）。（この2ウェイケースは、既知のNP完全2ウェイと全く同じではないパーティション問題等しいパーティションの合計注パーティション和と0偏差を意味している。パーティションの合計が等しい。その逆）2 ^番目の REF研究3-ウェイとnウェイの分割、部分的に経験的に、2ウェイの場合ほど多くの研究はありません。$\log(x), \log(y), \log(z)$$n$

• 最も簡単な難しい問題：数値分割 / Mertens

• 多方向の番号分割 / Korf

編集

高速アルゴリズムが存在する可能性が低い理由の非公式な議論は次のとおりです。 その文は変更されていませんが、次のセクションの正式な証明のように構造化されすぎていて、議論がそのバグに追いついていたので、私はここにあったものを取り出しましたDWは親切に私に指摘してくれました。代わりに、その背後にある直観を表現してみましょう。

$N$

乗算と除算の代わりに加算と減算など、同じステップを別の代数に変換するとどうなりますか？アルゴリズムは、等しい製品が存在する場合、その製品が等しい3つのパーティションを検出することを知っています（下の補題を参照）。したがって、同じ手法を加法グループに変換できれば、合計が等しい3つのパーティションを見つけるか、そのようなパーティションが存在しないと判断できます。つまり、多項式時間で3分割を解くことができます。それはあまり妥当ではありません。

では、なぜこのようなアルゴリズムは乗算に対して機能し、加算に対して失敗するのでしょうか？考えられる理由の1つは、乗算ではすべての整数に一意の素因数分解がありますが、加算では循環的であることです。もう1つは、乗算により加算でリングが形成されるため、別の演算セットを使用できることです。もう1つは、非プリムで機能するようにアルゴリズムを一般化する必要があり、その素数に依存する可能性があることです。DWが指摘した1つは、特定の変換方法によって入力のサイズが指数関数的に増加する可能性があるということです。そして、おそらくP = NPです。

しかし、それらが高速アルゴリズムを機能させる抜け穴である場合、どこに努力を集中すべきかを示唆しているので、知ることはまだ有用だと思います。NP完全問題に適用しようとすると壊れる何かを探しているはずです。他の代数に一般化するアプローチは、おそらく間違ったツリーをbarえることです。しかし、乗算はそれが機能するのに十分な差はないのではないかと思いますが、それは単なる予感です。

補題

$m = \sqrt[3]{N}$$(am, bm, \frac{m}{ab})$$a$$b$$(ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})m^2$$a = b = 1$

$xyz = N$

$(am)(bm) + (am)(\frac{m}{ab}) + (bm)(\frac{m}{ab}) = abm^2 + \frac{m^2}{b} + \frac{m^2}{a} = (ab+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})m^2$

$f(a,b) = ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$\frac{\delta f}{\delta a} = b - \frac{1}{a^2}$ and $\frac{\delta f}{\delta b} = a - \frac{1}{b^2}$. The critical point where these partial derivatives are zero comes where $a = b^2, b = a^2$, and therefore, since $a$ and $b$ must be real numbers greater than 0, $a = b = 1$. We see from the matrix of second-order partial derivatives that this is a global minimum.

My immediate motivation to prove this was to fill in a hand wave in my proof above that, if a perfect-cube solution exists, it is optimal. However, this formula could be useful for pruning the search tree.

Assorted Thoughts

I don’t see any obvious symmetry except the interchangeability of x, y and z, which only gives us at best a constant factor of 6. We do have some speedups for the 2-partition that basically say we’d want both terms to be as close to each other as possible, but I don’t immediately see an application to this problem.

Off the top of my head, simply taking the log of all the numbers immediately reduces this to a classic 3-partition problem using addition, or equivalently, taking some number to the power of the numbers in any 3-partition addition problem turns it into a multiplication problem such as this. That implies this problem should not be any easier. We do have here the prime factorization, whereas that factorization would not be prime, but does that help us?

Graphically, the surface xyz = 0 would look like the union of the xy-, yz- and xz-planes, and for any positive n, the equation would look like y = n/xz, so each slice along a coordinate plane would be a hyperbola. We can generally say that the quantity we’re trying to minimize is lowest at the origin and grows most rapidly along the line where x = y = z. If we can search only along this manifold, we might be able to reduce to a two-dimensional problem.