正方形の色多項式

正方形、ABCDについて考えてみましょう。直感的には、色彩多項式はであり、利用可能な色があるように思えました。$\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$$\lambda$

つまり、Aの色を選択できる方法があり、BとDの色を選択するつの方法（BとDがAに隣接している）と色の方法があります。 Cが選ばれるために。$\lambda$$\lambda - 1$$\lambda - 2$

ただし、分解定理（スライド47、例11.33）を使用して、正方形を長さ3のパスと三角形のパスに分解すると、最初の推論が間違っていることがわかります。

私の考えのどこが悪いのか教えてください。

互いに対角線にある頂点は同じ色にできることに注意してください！あなたの公式はそれを考慮に入れていません。包含/除外の原理により、グラフの色数を見つけることができます。これは、特定のサブセットの特定の境界を証明できる場合、複雑な構造をカウントできる非常に一般的なカウント手法です。

主なアイデアは、いくつかのプロパティが発生するすべての可能な方法を数えるということです。次に、いくつかの「不良」アイテムを削除します。ただし、削除しすぎて、「良い」アイテムを追加し直す必要がある場合があります。これは、すべてのサブセットを通過するまで行ったり来たりします。

包含/除外の原理は、何らかのグラウンドセットが与えられた場合、サブセットいずれにもないの要素の数は $|X|=n$$X$$A_i$

$$\sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|}|A_I| \text{, where } \\ I \text{ is the set of indices in } X \text{ and } A_I = \bigcap_{i \in I} A_i$$

してみましょう色数も、と聞かせて可能なすべての着色料の集合とする（つまり、、及びましょう）$\lambda$$X$$|X| = \lambda^4$

$$A_{e} = \{\text{coloring} : e=(i,j) \in E, \text{color}(i) = \text{color}(j) \}$$

最終的な多項式を取得する前に、セットのサイズと、交差するすべてのサブセットのサイズを数える必要があります。$A_{e}$

それを観察。これは、着色している​​だけで、隣接する頂点には常に同じ色を選択しているためです。今後、$|A_{12}| = |A_{23}| = |A_{34}| = |A_{41}| = \lambda^3$$G$

$|A_{12} \cap A_{23} | = |A_{23} \cap A_{34} | = |A_{34} \cap A_{41}| = |A_{41} \cap A_{12}| = |A_{12} \cap A_{34}| = |A_{41} \cap A_{23}| = \lambda^2$

各3セットをリストするつもりはありませんが、すべて同じ数です。。そして最後に、。次に、条件を収集して合計します。$|A_e \cap A_{e'} \cap A_{e''}| = \lambda$$|A_{12} \cap A_{23} \cap A_{34} \cap A_{41}| = \lambda$

$$\lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda = \lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 3\lambda$$

単純な4サイクルだったので、この問題を包含/除外で数えることはそれほど悪くありませんでした。グラフの構造が多いと、考えられるすべての交差の各交差サイズを把握するのが面倒になります。

上記のニコラスとこれの答えは、私の思考の欠陥を見つけるのに役立ちました。ニコラスについてもっと詳しく説明しようと思いました。

互いに対角の頂点は同じ色にできることを覚えておく必要があります

そして、私の間違った推論を調整することによって、色の多項式を取得します。

私は最初に Cの色を選択する方法があることを理解していました。 "-2"は、BおよびDの色とは異なる色を説明しました。BとDは、同じ色の場合、 Cの色を選択する方法があります。$\lambda - 2$$\lambda - 1$

$P(ABCD, \lambda)$ = BとDが同じ色である場合のABCDを適切に着色する方法の数+ BとDが異なる色である場合のABCDを適切に着色する方法の数
=$λ(λ−1)(1)(λ−1) + λ(λ−1)(λ−2)(λ−2)$