忙しいビーバーは人間に知られている最も急速に成長している機能ですか？

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この興味深い質問がありました。人に知られている最も急速に成長している機能は何ですか？それは忙しいビーバー？

などの関数を知っていますが、この関数はよりもゆっくりと成長し、はよりもゆっくりと成長します、これはよりもゆっくりと成長します。その後、関数を組み合わせてすることができそれはよりも速く成長します。 $x^2$ $2^x$ $x!$ $x^x$ $(x^x)!$ $x^x$

次に、よりもはるかに速く成長するアッカーマン関数などの再帰関数に到達します。それから、忙しいビーバー関数についての人々は、アッカーマン関数よりもさらに速く成長します。 $A(x,x)$ $(x^x)!$ $B(x)$

現時点では、忙しいビーバーよりも速く成長する他の機能は聞いていません。忙しいビーバーよりも早く成長する可能性のある他の機能がないということですか？（脇の要因からなど、等） $B(x)$ $A(B(x), B(x))$

computability

— ボダシード
ソース

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ビジービーバー^ 2はより速く成長します

— -artistex

2

@vznなぜ成長は計算可能な関数にしか意味がないのですか？漸近的成長は、計算可能性とはまったく関係のない数学的概念です。

— ラファエル

8

BBの@vznは、成長率が計算不能であることを意味します。しかし、計算不能性は高い成長率を意味しません。

— サショニコロフ

6

こんにちは@vzn。関数

ようにすることを

であれば

チューリングマシンの停止、および第」

そうでなければuncomputableであるが、よりゆっくりアッカーマン関数よりも大きくなります。一方、固定定数

については、すべての

、BB

Ackerman

であることを証明するのは簡単です。そうでない場合は、説明の長さでチューリングマシン

を実行することにより、停止の問題を解決できます。

f

$f$

f (n) = 1

$f(n) = 1$

n

$n$

f (n) = 0

$f(n) = 0$

c

$c$

n > c

$n > c$

(n) >

$(n) >$

(n)

$(n)$

T

$T$

はAckerman

ステップのみで、その前に停止したかどうかを確認します。

n

$n$

(n)

$(n)$

— アーロン

4

@vzn多分あなたは別のアイデアを持っている「成長より速い」.. I平均はによって与えられた半順序である（と私は他人を信じて）どのような

。

f = ω (g)

$f = \omega(g)$

— サショニコロフ

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ビジービーバー機能は、計算可能な機能よりも速く成長します。ただし、停止問題を解決するためにオラクルにアクセスできるチューリングマシンによって計算できます。その後、「二次」ビジービーバー関数を定義できます。この関数は、停止問題のオラクルを備えたチューリングマシンでも計算できる関数よりも速く成長します。これをいつまでも続けて、より速く成長する忙しいビーバー機能の階層を構築することができます。

このトピックに関するScott Aaronsonの優れたエッセイ「だれが大きい番号に名前を付けることができるか」を参照してください。。

— アーロン
ソース

HALT_TM用のOracle TMがビジーなビーバーを解決できる理由についてのリソース/理由はありますか？

— ライアン

1

ライアン：停止の問題を解決することは（計算上）Busy Beaverを知ることと同等です。1）program[length=n]停止しますか？BusyBeaver(n)手順をシミュレートします。2）とはBusyBeaver(n)？length <nのすべてのプログラムについて、停止した場合は破棄し、他のプログラムの中で最大スコアを取得します。

— ninjagecko

@ninjagecko停止しないという意味

— ですか？PyRulez

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「最も急速に成長している機能」というものはありません。実際、最も急速に成長している関数のシーケンスさえありません。これはすでにハウスドルフによって示されました。二つの機能を考えると、と言うより速く成長する場合 $f,g\colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ $g$ $f$ 関数所与、以下の関数より速く成長：関数のシーケンス所与、次の関数より速く、それらのすべてよりも成長する：

\underset{n \to \infty}{リム} \frac{g （ n ）}{f （ n ）} = \infty 。

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{g(n)}{f(n)} = \infty.$

f

$f$

g

$g$

f

$f$

g （ n ） = n f （ n ） 。

$g(n) = nf(n).$

f_{n}

$f_n$

g

$g$

g （ n ） = n \underset{m \leq n}{最大} f_{m} （ n ） 。

$g(n) = n \max_{m \leq n} f_m(n).$ 当然の質問は、最も急速に成長している機能の「規模」があるかどうかです。これは、機能の整ったセットです

、任意の関数を与えている「cofinal」で、

、急成長関数であり

。（順序の整ったセットの代わりに、チェーンについて同等に話すことができます。つまり、セット内の任意の2つの関数は比較可能である必要があります。）スケールの存在はZFCに依存しません。（追加CH改ざんCohenのモデルにしながら、

実数）を、いかなるスケールは存在しません。

g_{α}

$g_\alpha$

f

$f$

g_{α}

$g_\alpha$

ω_{1}

$\omega_1$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

5

他の回答は、質問に直接対処します。より詳細な背景については、このテーマに関するLafitteのこの論文では、忙しいビーバーのような機能のより大きなコンテキストを検討します。また、このアイデアをより一般的なフレームワークに適合させるいくつかの結果と定理があります。（非公式に）「忙しいビーバーのような関数」は、Chaitinの不完全性現象（定理2.1）と密接な関係があることを示しています。また、忙しいビーバーのような機能を「理解」するのに十分な「強力」ではない理論があることも示しています。これは、ビリングのようなビーバーのような結果を公理として想定するという考えと、チューリングによって最初に想定された考えに似た理論の論理的進行を示しています。

[1] グレゴリーラフィットによって忙しいビーバーが暴走。抽象：

ビジーなビーバー機能を使用して、Chaitinの一部の不完全な結果を示します。次に、順序論理の助けを借りて、ビジーなビーバー関数の値を証明可能に確立できる理論を取得し、これを使用してこれらの関数の値の証明可能性に関する構造を明らかにする方法を示します。

— vzn
ソース

他の答えは完全に異なります。「言語の強調」といえば、その例は「地獄のノー」と言っている司会者でしょうか。とにかく略語は、編集のために+2を獲得したい人への寛大な贈り物と

— 見なす

1

これは直接答えないということを自問しているのに、なぜコメントとして投稿しなかったのですか？

— ラファエル

0

Hartmanis-Stearnsの時間および空間階層定理は、スケールが制限されていないため、時間または空間に関して「最も成長が速い」関数がないことを証明しています。ただし、すべての「適切に動作する」計算可能/再帰関数を比較できるように順序付けを行います。しかし、多くの「急速に成長している」数学関数は、やや明白であるか、目立った理論的な「ギャップ」であるにもかかわらず、これまでのところ時間/空間の複雑さに関して評価されていないようです。そうすることは、重要な「ブリッジ定理」につながる可能性があります。

— vzn
ソース