2部グラフの最大マッチングのサイズ

二部グラフの最大マッチングカーディナリティは常に等しいという私の見解では正しいですか？$M$$G(U, V, E)$$\min(|U|, |V|)$

与えられた二部グラフ$G = (U,V,E)$と最大マッチング$M$の$G$を経由して、ケーニッヒの定理、我々はそれを見る$|M| = |C|$ここで、$C$はGの最小頂点カバーです$G$。ステートメントは、可能な一致のサイズの上限にすぎず、厳密な等価ではありません。

ウィキペディアページの画像は、あなたの主張に対する良い反例を提供しています。| M |がわかります = 6$|M| = 6$、一方で$\min(|U|,|V|) = 7$。

ただし、完全な2部グラフ、ステートメントは保持されます。$K_{n,m}$

いいえ。たとえば、2つの側が切断されている場合を考えますまたはノードの大きなグループがすべて同じ単一ノードに接続されている場合：$|E| = 0$

$U = u_1, u_2, ..., u_n$

$V = v_1, v_2, ... , v_n$

$E = u_1v_1, u_2v_1, ... u_nv_1,$ $v_1u_1, v_2u_1, ... v_nu_1$