二重重みパラメータを持つ最小スパニングツリー

グラフ考え $G(V,E)$ ます。各エッジ $e$ は2つの重み $A_e$ と $B_e$ ます。製品最小化スパニングツリー検索 $\left(\sum_{e \in T}{A_e}\right)\left(\sum_{e \in T}{B_e}\right)$ 。アルゴリズムは、に関して多項式時間で実行する必要があります $|V|, |E|$ 。

スパニングツリー（Kruskal、Prim、Edge-Deletion）に従来のアルゴリズムを適用することは困難です。解決方法ヒントはありますか？

algorithms graph-theory spanning-trees

— ストリン
ソース

エッジ

重みが

ある新しいグラフを作成しようとするかもしれません。

e

$e$

max (A_{e}, B_{e})

$\max(A_e,B_e)$

— utdiscant

これは宿題の問題/運動ですか？もしそうなら、それは教科書からですか？私が尋ねる理由は、コンテキストが問題を「リバースエンジニアリング」するのに役立つからです。...それは貪欲アルゴリズムは、ここで適切であることがすぐに明らかではないが、それは貪欲法の章から来る場合

— ジョー

@utdiscant、それはうまくいきません。負のエッジが役立つ場合があります。

— ニコラスマンクーソ

正のエッジであっても有用ではありません。たとえば、ほとんどの場合、ペア（10,10）はペア（11,1）よりも良くありません。

回答:

これは、負の重みがある場合は機能しない可能性があるため、負の重みのエッジが与えられていないことを前提としています。

アルゴリズム

あなたのエッジの各々について、それらをラベルする $1$ $n$

してみましょうエッジ数の重量A $a_i$ $i$

ましょうエッジ数の重量B $b_i$ $i$

この表を作成する

   |a_1 a_2 a_3 a_4 .. a_n
---+-------------------------
b_1|.........................
b_2|.........................
 . |.........................
 . |.........................
b_n|...................a_n * b_n

各テーブル要素は行と列の積です。

各エッジについて、関連するテーブルの行と列を合計します（2回合計されているため、交差点の要素を忘れずに削除してください）。

最大の合計を持つエッジを見つけ、グラフを切断しない場合はこのエッジを削除します。そうでない場合は、エッジを必須としてマークします。エッジが削除されている場合、その行と列を0で埋めます。

正しさ

結果は明らかにツリーです。

頂点が切断されていないため、結果は明らかに広がっています。

結果は最小限ですか？アルゴリズムの最後に、削除により小さなスパニングツリーが作成される別のエッジがある場合、そのエッジは削除され、最初にヌルになります。（誰かが私をこれをもう少し厳密/かつ/または反例にするのを手伝うことができれば、それは素晴らしいことです）

ランタイム

明らかに多項式 $|V|$ 。

編集する

でない反例。 $(2,11), (11,2), (4,6)$

$a_1 = 2, a_2 = 11, a_3 = 4$

$b_1 = 11, b_2 = 2, b_3 = 6$

それから

   | 2     11     4
---+--------------------
11 | 22    121    44
 2 | 4     22     8
 6 | 12    66     24

\begin{aligned} (4, 6) & = 44 + 8 + 24 + 66 + 12 = 154 \\ (2, 11) & = 22 + 4 + 12 + 121 + 44 = 203 \\ (11, 2) & = 121 + 22 + 66 + 4 + 8 = 221 \end{aligned}

$\begin{align*} (4,6) &= 44 + 8 + 24 + 66 + 12 = 154 \\ (2,11) &= 22 + 4 + 12 + 121 + 44 = 203 \\ (11,2) &= 121 + 22 + 66 + 4 + 8 = 221 \end{align*}$

$(11,2)$ 削除されます。

終わる $(2,11), (4,6) = 6 * 17 = 102$

他のスパニングツリーは

$(11,2), (4,6) = 15 * 12 = 180$

$(2,11), (11,2) = 13 * 13 = 169$

— ハープ・デルピントン
ソース

これはかなり貪欲なアプローチであるように思えます。私はあなたのミニマリズムの「証拠」に納得していません。

— -Nejc

@SaeedAmiriどのように反例ですか？編集したセクションで作業を投稿しました。アルゴリズムは正しい結果を提供します。

— ハープデルピントン

あなたがしたことは、各

どれだけ貢献しているかを見つけることです

(a_{i}, b_{i})

$(a _i, b _i)$

、あなたが最も影響力を持っているものを選びます。それは良いことですが、必要なものではありません。難しい質問です。答えを改善したい場合は、証拠を提出する必要があります。それ以外の場合は使用できません。

\sum_{e \in E} a_{i} . \sum_{e \in E} b_{i}

$\sum _{e \in E} a _i. \sum _{e \in E} b _i$

— AJed

しかし、あなたの努力に対して賛成票を得るのは非常に不公平です。

— AJed

@AJed証拠は、prim / kush / reverse削除の場合とまったく同じです。ここで証明しなければならないのは、カットプロパティがまだ保持されていることだけです。

— ハープデルピントン

これはhttp://www.cnblogs.com/autsky-jadek/p/3959446.htmlからのソリューションですです。

すべてのスパニングツリーを平面内の点として表示できます。ここで、は重みの合計です $x-y$ $x$ 、Yは重量の合計である。目標は、を最小化することです。 $\sum_{e\in T}A_{e}$ $\sum_{e\in T}B_{e}$ $xy$

重みに従って最小スパニングツリーを見つけるおよび重み。したがって、xy平面 2つのポイントがあります。平面内のすべてのスパニングツリーポイントで、には最小、には最小ます。 $A$ $B$ $A,B$ $A$ $x$ $B$ $y$
今、私たちはポイントを見つけることを目指しています三角形における線までの最大距離有する我々が持つことができるように、の値三角形内のすべての点に対して最小。 $C$ $OAB$ $AB$ $xy$ $C$ $ABC$

なぜなら $2S_{ABC}=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y})\times(C_{x}-A_{x},C_{y}-A_{y})=(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}-A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y})$

$A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y}$ $(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}$ $G^{\prime}=(V,E)$ $w(e)=B_{e}(B_{x}-A_{x})+C_{x}(A_{y}-B_{y})$ $G^{\prime}$ $C$
$OBC, OAC$ $BC,AC$ $O$
$xy$