Big O：依存関係のあるネストされたForループ

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Big Oで宿題を与えられました。前のループに依存するforループが入れ子になっています。私は本当にそれを理解したいので、ここに私の宿題の質問の変更されたバージョンがあります：

sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++ 
    for (j = 0; j < i; j++) 
        sum++;

私を後押ししているのはそのj < i部分です。ほぼ階乗のように実行されるようですが、追加されます。ヒントは本当にいただければ幸いです。

— ラファエル
ソース

ここで

— saadtaame

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ですから、いくつかはっきりさせておきますが、big-O表記に興味があります。これは上限を意味します。つまり、実際よりも多くの歩数をカウントしても問題ありません。特に、アルゴリズムを変更して、

 ...
    for (j = 0; j < n; j++) 
 ...

$n$ $O(n^2)$

もちろん、上限を適切に見積もる必要があります。したがって、完了のために、下限を決定したいと思います。これは、より少ないステップを数えることを意味します。変更を検討してください

for (i = n/2; i < n; i++)
    for (j = 0; j < n/2; j++) 
        sum++;

$n/2$ $n^2/4$ $\Omega(n^2)$ $n^2$ $\Theta(n^2)$

詳細については、こちらをご覧ください。

— A.シュルツ
ソース

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sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
    for (j = 0; j < i; j++) 
        sum++;

これを追跡してみましょう：

i = 0の場合、内部ループは実行されません（0<0 == false）。
i = 1の場合、内部ループは1回実行されます（j == 0の場合）。
i = 2の場合、内部ループは2回実行されます。（j == 0およびj == 1の場合）。

したがってsum、このアルゴリズムは次の回数を増分します。

\sum_{x = 1}^{n} x - 1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4... + n - 1 = \frac{n (n - 1)}{2}

$\sum_{x=1}^n x-1 = 0+1+2+3+4... + n-1 = \dfrac{n(n-1)}{2}$

$n$ $\dfrac{n^2-n}{2}$ $n^2$ $\theta(n^2) \equiv O(n^2) \ and\ \Omega(n^2)$

— キース
ソース

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これを説明できるか見てみましょう...

したがって、内部ループがjだった場合

ここで、最初の反復では、内側のループをn-（n-1）回実行します。2回目は、内側のループをn-（n-2）回実行します。N回目はn-（nn）回、つまりn回実行します。

内部ループを通過する回数を平均すると、n / 2回になります。

つまり、これはO（n * n / 2）= O（n ^ 2/2）= O（n ^ 2）と言えます

それは理にかなっていますか？

ちょっと変ですが、わかったと思います！ありがとう！

そのj < i部分が実際にj < i^2である場合、その部分の結果のOはn ^ 2/2になりますか？

まず、O（n ^ 2/2）= O（n ^ 2）であることに注意してください。これをj <i ^ 2に変更すると、最初の反復で（n-（n-1））^ 2を実行し、最後の反復でn ^ 2を実行します。内側のループのビッグO表記がどうなるか覚えていません。O（n ^ 2）はゆるい上限です。したがって、全体のゆるい上限はO（n ^ 3）になりますが、その内部ループはO（n ^ 2）よりも小さくなります。それは理にかなっていますか？