文字列連結のコルモゴロフ複雑度

もしあるコルモゴロフ複雑性ストリングの、 $K(s)$ $s \in \{0,1\}^*$

我々は（または反証）次の文を証明することができます：

「すべての文字列非圧縮性文字列の接頭辞である。すなわちごとに文字列存在の文字列ように」？ $s$ $s$ $r$ $K(sr) \geq |sr|$

非常に非公式な（そしてあまり意味がない）方法で： ; 十分に大きい非圧縮文字列を選択した場合、を「使用」して、指定された文字列圧縮率を「マスク」できますか？ $K(r) \leq |r| + O(1)$ $r$ $O(1)$ $s$

同様の（ただし異なる）結果は、任意の、次のようなと見つけることができます $c$ $s$ $r$ $K(sr) > K(s) + K(r) + c$

computability kolmogorov-complexity

— ヴォル
ソース

非圧縮性とは、文字列長さがその最短の記述下限であることを意味しますか？

s

$s$

K (s)

$K(s)$

— saadtaame 2012

@saadtaame：

K (s) \geq | s |

$K(s) \geq |s|$

— Vor

あなたの推測は間違っています。一部の定数について $C,D$ 、それはそれを保持します $K(sr) \leq 2K(s) + K(r) + C \leq 2K(s) + |r| + D$ （証明：ユニバーサルチューリングマシンを使用して生成する $s$ その後 $r$ ; あなたはもう少し必要です $K(s)+K(r)$ ただし、両方のプログラムを保存するには $2K(s)+K(r)$ やりすぎです）。したがって、 $2K(s) + D < |s|$ 、あなたの推測は成り立たない。そのような簡単なひも $s$ 例えば確かに存在します $K(0^n) = O(\log n)$ 。

— ユヴァルフィルムス
ソース

大丈夫そうです。と思った

D

$D$ に依存する

r

$r$ が、UTMが修正されると定数になります。別の考慮事項：2つの文字列を連結する場合、追加する必要があります

\log | s |

$\log |s|$ ビット（プログラムを区切る

s

$s$ プログラムから

r

$r$ ）、つまり、「予想」を「すべての非圧縮文字列」に変更した場合、証明は機能しません。

s

$s$ 非圧縮文字列の接頭辞です

r

$r$ "？簡単にそれを（否認）する方法を見ることができますか？

— Vor

後者の推測はそれほど興味深いものではありません

s

$s$ はすでに非圧縮です。正式には、

r = s

$r = s$ ただし、このソリューションは簡単に禁止できます。

— Yuval Filmus

@Yuval Filmus、2番目のステートメントを証明する方法に関するアイデアはありますか、つまり、

c

$c$ 、見つけることができます

s

$s$ そして

r

$r$ そのような：

K (s r) > K (s) + K (r) + c

$K(sr)>K(s)+K(r)+c$ これはSipserの本に記載されており、運動の問題として残されていますが、それを証明することはできませんでした。この結果を示すためにどのような証明手法を使用する必要があるのか知りたいです。ありがとう！

— Han Zhao

「質問する」ボタンを使用して、これを新しい質問として投稿することをお勧めします。それをするとき、あなたが試みたアプローチを私たちに教えてくれれば助けになるかもしれません。それは間違いなくここの答えとしては属していません。

— DW