5つの要素を並べ替える（順序付ける）ために必要な比較の最小数を見つけ、この比較数を使用してこれらの要素を並べ替えるアルゴリズムを考案します。
解決策： 5つあります！= 120の可能な結果。したがって、ソート手順のバイナリツリーには少なくとも7つのレベルがあります。実際、 ≥120が示す時間 ≥7でも7の比較は十分ではありません。5つの要素を並べ替える（並べ替える）ために必要な比較の最小数は8です。
私の実際の質問は次のとおりです。8つの比較でそれを行うアルゴリズムを見つけましたが、7つの比較でそれができないことをどのように証明できますか？
回答:
解決策は間違っています。デマス[1; 2、経由 5.3.1]は、7つの比較のみを使用して5つの値をソートできること、つまり、この場合「情報理論」の下限が厳しいことを示しています。
答えは、一般的なアルゴリズムではなく、合わせた方法です。また、あまり良くありません。これは概要です：
最初の2つのペアを並べ替えます。
ペアをそれぞれの大きな要素で並べます。
結果を呼び出します ; a < b < dおよびc < dを知っています。
を[ a 、b 、d ]に挿入します。
手順3の結果にを挿入します。
最初のステップは明らかに2つの比較を行い、2番目の比較は1つだけです。最後の2つのステップでは、それぞれ2つの比較を行います。両方の場合に3要素リストに挿入し（ステップ4については、からcが手元のリストの最後の要素よりも小さいことがわかっていることに注意してください）、最初に中間要素と比較します。これにより、合計7つの比較が行われます。
この「素敵な」擬似コードの書き方がわからないので、テスト済みの（そして願わくは読みやすい）実装についてはこちらを参照してください。
比較に基づくソートの理論上の下限はです。つまり、<または>比較のみを使用してアイテムをソートするには、少なくともnの 2を底とする対数が必要です。、したがって、ログ（5 ！）≈ 6.91動作を制御します。
以来！= 120および、バイナリ決定ツリーを使用すると、7つの比較で5つのアイテムをソートできます。ツリーは、120個の順列のうちどれを持っているかを正確に把握し、ソートに必要なスワップを行います。
きれいなコードでも短いコードでもありません。手作業でコーディングするのではなく、コード生成メソッドを使用して決定木とスワップを作成する必要がありますが、機能します。5つのアイテムの可能な順列で動作することが証明されているため、7つの比較で5つのアイテムを並べ替えることができます。
クイックソートを考えていました。偶然中央の要素である要素をピボットとして選択します。ピボットを残りの4つのアイテムと比較して、2つの山を並べ替えます。これらのパイルはそれぞれ1回の比較でソートできます。私がひどい間違いを犯していない限り、5つの項目はたった6回の比較で完全にソートされており、それが仕事をするために必要な比較の絶対的な最小数だと思います。元の質問は、5つの要素をソートするための比較の最小数を見つけることでした。
アルゴリズムをテストできる場合は、すべての数値の組み合わせでテストします。多数ある場合は、多数のランダムな組み合わせでテストします。正確ではありませんが、すべての組み合わせよりも高速です。
最小
a <b <c = 2
a <b <c <d = 3
a <b <c <d <e = 4
最大
3 ^ 3
4 ^ 4
5 ^ 5
中間に挿入すると、4〜3の数字が使用されます。
マージでは4つの番号に4〜5を使用します。
wikiによる最小比較は4つの数字に対して5です:) 5の場合は7です。8を使用します。
https://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_sort#Number_of_comparisons_required_to_sort_a_list
比較する前にすべてを知っている場合は、比較を行うことができます。4つの数字の平均は、すべての組み合わせで3.96 / 1024です。