空の言語でのKleeneスター操作

私の教科書には次のように書かれています：ここで、は空の言語です。 $\emptyset^*=\{\epsilon\}$ $\emptyset$

ただし、であることがわかっています。ここで、は任意の言語です。 $L \cdot \emptyset = \emptyset$ $L$

Kleene starの操作はという事実を指しているため、この概念を直感的に理解することはできません。 $\emptyset^*=\emptyset^0 \cup \emptyset^1 \cup \emptyset^2 \cup \cdots$

なぜですに等しくない？ $\emptyset^*$ $\emptyset$

formal-languages kleene-star

— サグニク
ソース

この回答をご覧ください。基本的に、空でない集合

場合、式

一貫性のために

です。これは、より自然な拡張として

場合に拡張されます。これは、セミリングの通常の選択です。残りは、クリーネ星の定義から得られます。

W

$W$

W^{0} = \emptyset

$W^0=\emptyset$

W^{x} W^{y} = W^{x + y}

$W^xW^y=W^{x+y}$

W = \emptyset

$W=\emptyset$

— babou

しかし、数字のために、

私が思い出すよう、しばしば、それが等しく定義するのが便利かもしれませんが、主な原因continutyの問題により、未定義のままにされる

。参照してください

0^{0}

$0^0$

1

$1$

0^{0}

$0^0$

— babou

いうだけの理由

すべてについて定義によって、。

ε \in L^{0} = {ε}

$\varepsilon \in L^0 = \{\varepsilon\}$ $L$

— ラファエル

@Raphaelはい。そのようにすることができます。しかし、それは、私の知る限りで、時に任意であり、

。おそらく、答えを別の方法で書く必要があります。説明するのに一生懸命です。

L = \emptyset

$L=\emptyset$

— babou

@babou最後に、すべての定義は任意です。一部の定義は有用ですが、他の定義は有用ではありません。Imho、これは基本的に定義の直観を見つけようとすることはめったに役に立たず、時には有害です。

— ラファエル

回答:

あなたは今、言語の力を考慮すればあなたが持っている、あなたがこの上で一貫するようにしたい場合はすなわち非負整数、あなたが定義する必要が。あなたがすることがそれを取った場合あなたがいるだろうのために、とりわけ、含む $W$ $W^xW^y=W^{x+y}$ $\mathbb N_0$ $W^0=\{\epsilon\}$ $\emptyset$ $W^x=W^{x+0}=W^xW^0=W^x\emptyset=\emptyset$ 。したがって、私たちは持っているでしょういずれかのために。したがって、これは明らかに矛盾しています。言語連結のアイデンティティである以外の選択についても、同様の矛盾が生じます。 $x=1$ $W^1=W=\emptyset$ $W$ $\{\epsilon\}$

したがって、空でないセットに対するの唯一の一貫した一貫した定義は、です。 $W^0$ $W$ $W^0=\{\epsilon\}$

ケースへの定義を拡張するために、次に便利であるとして。 $W=\emptyset$ $\emptyset^0=\{\epsilon\}$

これは、多くの場合、半リングで採用されている、ちょうど一貫して便利な定義ですが、それはTHW場合とは異なり、証明することはできません他の一貫した定義が存在しないところ。 $W\neq\emptyset$

ただし、他の定義は一貫した方法で指定する必要があります。これは、

\begin{aligned} \emptyset^{*} & = \emptyset^{0} \cup \emptyset^{1} \cup \emptyset^{2} \cup \dots \\ = {ϵ} \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \dots \\ = {ϵ} \end{aligned}

$\begin{align} \emptyset^*&=\emptyset^0\cup\emptyset^1\cup\emptyset^2\cup\ldots \\ &=\{\epsilon\}\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\ldots\\ &=\{\epsilon\} \end{align}$

このトピックは多くのWebページで説明されています。：数字の半リングの場合、これは、このページの長さで議論されている（精度の欠如が意図的である）ゼロをゼロ電力に-は？ $0^0=1$ 。

言語の半環については、この回答で説明しています。

— バブー
ソース

この答えは私の疑問をすべてクリアしました。そしてリンクは素晴らしかった。

— サグニク

ゼロ単語の連結空の単語であるので、。より一般的には、言語のために、クリーネスターからの単語の任意の数の全ての連結で構成さ、任意の数を含むゼロの言葉。 $\emptyset$ $\epsilon$ $\epsilon \in \emptyset^*$ $L$ $L^*$ $L$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

「ゼロワードの連結」の概念を直感的に理解することができなかったため、より数学的な説明を探していました。しかし、@ babouの答えとこの答えを読んだ後、私の疑問はすべて解消されました。ありがとうございました。

— サグニク

「...言語Lの場合、KleeneスターL *は、Lからの任意の数の単語の連結で構成されます。ゼロの単語を含む任意の数」イプシロンは単語なので、ゼロ個の単語にイプシロンが含まれると言うにはどうすればよいですか？訂正してください。

— パラクジャイン

ゼロ単語の連結は、連結の中立的な要素であり、空の単語です。同様に、ゼロ要素の合計はゼロ、ゼロ要素の積は1、ゼロセットの和集合は空のセットなどです。

— ユヴァルフィルマス