最近、停止問題の決定不能性に関するチューリングの証明がラッセルの理髪師のパラドックスに非常に似ているという興味深い類推を聞いたことがあります。

だから私は不思議に思いました：数学者は最終的に、Cantorの素朴な定式化からより複雑な公理系（ZFC集合論）に移行し、重要な除外（制限）と途中での追加を行うことで、集合論を一貫させることに成功しました。

したがって、チューリングマシンよりも強力で表現力のある一般的な計算の抽象的な記述を試してみて、それを使用して、実存的証明または場合によっては停止問題を解決するためのアルゴリズムを取得することもできます任意のチューリングマシン？

本当に比較することはできません。素朴な集合論には、ZFC集合論によって排除されたパラドックスがありました。科学的研究の基本的な前提は一貫性が達成可能であることであるため、理論は一貫性のために改善される必要があります（そうでなければ、推論はチャンスのビジネスになります）。数学者はそれが可能でなければならないと予想し、問題を解決するために働いたと思う。

計算理論と停止の問題にはそのような状況はありません。パラドックスや矛盾はありません。TM停止の問題を解決できるチューリングマシンが存在しないのはまさにそのためです。それは単なる定理であり、パラドックスではありません。

したがって、宇宙の理解におけるいくつかの突破口が、現在私たちが想像できる以上の計算モデルにつながる可能性があります。非常に弱い形式で、TM領域内に残る唯一のイベントは、おそらく量子コンピューティングでした。計算可能性（実行可能かどうか）ではなく、複雑さ（どれだけ時間がかかるか）に触れるこの非常に弱い例以外に、この惑星の誰かがTMを超える計算可能性が期待されるという手掛かりを持っているとは思いません。

さらに、停止の問題は、チューリングマシンが有限のテキスト、一連のシンボルによって記述可能であるという事実の直接的な結果です。これは、私たちが知っている限りでは、実際すべての知識に当てはまります。それが、スピーチと本がとても重要な理由です。これは、証明と計算を記述するすべてのテクニックに当てはまります。

そのため、たとえばT +マシンで計算方法を拡張する方法を見つけたとしてもです。どちらかというと、有限文書を書くことを超えて知識を表現する方法を見つけたことを意味します。または、それはまだ有限のドキュメントで表現可能であり、その場合、T +マシンに対してそれ自身の停止問題があります。そして、あなたは再び質問をするでしょう。

実際、その状況は逆に存在します。線形有界オートマトン（LBA）など、一部のタイプのマシンはチューリングマシンよりも脆弱です。しかし、これらは非常に強力ですが、TMの場合とまったく同じように、LBAがLBAの停止問題を解決できないことを示すことができます。しかし、TMはそれをLBAで解決できます。

最後に、オラクルを導入することにより、より強力な計算モデルを想像できます。オラクルは、特定の問題に答えを出すことができ、TMから答えを求めることができますが、残念ながら物理的には存在しません。このようなoracle-extended TMは、上記で検討したT +マシンの例です。それらのいくつかは、TM停止の問題を解決できますが（実際にはそうではありません）、抽象的にさえ、自身の停止の問題を解決することはできません。

さて、通常のチューリングマシンの停止の問題については、いつでもオラクルを搭載したチューリングマシンを検討できます。つまり、新しいマシンには特別なテープがあり、そこに通常のチューリングマシンの説明とその入力を書き込み、そのマシンがその入力で停止するかどうかを尋ねることができます。単一のステップで答えが得られ、それを使用してさらに計算を実行できます。（単一のステップであるかどうかは関係ありません。有限のステップ数であることが保証されていれば十分です。）

ただし、このアプローチには2つの問題があります。

1. このようなオラクルを搭載したチューリングマシンは、独自の停止問題を決定できません。通常の停止問題の決定不能性に関するチューリングの証明は、この新しい設定に簡単に変更できます。実際、「チューリング度」と呼ばれる無限の階層があり、階層の次のレベルに前の停止問題のオラクルを与えることによって生成されます。

2. そのような神託を物理的に実装する方法を提案した人はいません。それはすべて理論上のデバイスとして非常に優れていますが、どのように構築するのか手がかりがありません。

また、ZFCはある意味で単純な集合理論よりも弱く、強くはないことに注意してください。ZFCはラッセルのパラドックスを表現できませんが、素朴な集合論は表現できます。そのため、チューリングマシンよりも計算の弱いモデルの場合、停止の問題を決定できるかどうかを尋ねる方が良いでしょう。たとえば、確定的有限オートマトン（DFA）の停止問題は、DFAがすべての入力に対して停止することが保証されているため、決定可能です。

警告：哲学的/厳密でない答え

これは少し「哲学的」になるかもしれませんが、あなたの質問の精神に合っていると思います。

再現不可能なマシン

停止の問題の証拠の基本は、チューリングマシンが関数のように動作することです。同じ入力に対して、常に同じ出力を提供します。このプロパティを削除すると、マシンが独自のプロパティを検出できるという意味で、「一般的な」停止問題に対処する必要がなくなります。しかし、そのようなマシンの多くの望ましい理論的特性も失います。

プロパティを削除する

それは集合論からカテゴリー論に行くのに少し似ています：制限を失うことによって「パラドクソン」のいくつかを失います。しかし、結果の処理ははるかに困難です。

この場合、それは次のことを意味します。マシンが「正しい」結果を提示するかどうかはわかりません。どの結果が正しいかを常に判断できるようになったらすぐに、マシンをそれ自体に適用して矛盾を構築することにより、何らかの「停止問題」に対処する必要があります。したがって、このようなマシンはおそらくあまり役​​に立ちません。

停止問題は、チューリングマシンの制限を表現するためではなく、有限数のシンボルを使用して表現できるすべての論理システムの制限を表現するために定式化されました。論理システムが特定の複雑さの問題の解決策を表現できるようになると、解決できない問題を表現できるようになります。以前は解決できなかったすべての問題の解決策を表現するのに十分な論理システムの拡張には、解決できない新しい問題を表現する機能も含まれます。

特定の「Enhanced Turing Machine」仕様を考えると、ETMのプログラムを調べて停止するかどうかを報告できる「Super-Enhanced Turing Machine」を指定できますが、SETMはETM--SETMプログラムを分析することはできません。新しい機能を追加する行為が自己分析器の新しい要件を作成するため、プログラムを自ら分析して停止するかどうかを判断できるマシンを定義する方法はなく、機能を要件に「追いつく」方法もありません。 。

そのようなマシンが想定されており、スーパーチューリングマシンと呼ばれています。スーパーチューリング機械のいくつかの主要なクラスは

• 実数マシン（アナログコンピューターなど）
• 無限の時間を与えられたチューリング機械
• 非決定性チューリングマシン

すべてのスーパーチューリングマシンが停止の問題を解決できるわけではありません（特に、非決定性チューリングマシンは解決できません）。ただし、少なくとも思考実験では、概念マシンが作成されています。