テーブルルックアップを使用しない有限のホールティング問題スタイルセットの決定可能性の建設的な証明

次の言語が再帰的であることを証明しようとしました：場合、は正の整数： where $\Sigma=\{0,1\}$ $k$

L_{k} = H_{T M, ε} \cap Σ^{k}

$L_k= H_{\mathrm{TM},\varepsilon}\cap \Sigma^k$

H_{T M, ε} = {⟨ M ⟩ ∣ M is a TM that halts on an empty input}

$H_{\mathrm{TM},\varepsilon}=\{\langle M\rangle\mid M \text{ is a TM that halts on an empty input}\}$

は有限であるため証明するのは簡単ですが、私はこれに気づかず、そのための決定者TMを見つけることによって証明しようとしました。TMのエンコードは長さため、超える状態は存在できず、ステップの間イプシロンで実行することにより、それまでに停止した場合は受け入れ、そうでない場合は拒否します。私はそれが間違っていると言われました-それは間違った解決策ですか？この方法を使用してこれをどのように証明できますか（が有限であることについて述べた方法ではありません）？ $L_k$ $k$ $2^k$ $2^k$ $L_k$

computability turing-machines proof-techniques

— サイファイ
ソース

私はあなたの投稿をLaTex形式に自由に編集しました。あなたの意図を誤って読んだ場合は、元の形式に戻してください。また、再開することをお勧めします。それがどうなるか見てみましょう。さて、サイトへようこそ。

— Rick Decker

以来、決定不能であり、それは決定可能セットの再帰的可算組合で表現できません。したがって、決定不可能な無限（および共無限）サブセットがあります。したがって、何らかの方法で有限性を使用する必要があります。あなたは、「あまり明確でない方法で有限性を使用して決定可能性をどのように示すのですか？」と質問しています。どのような意味であなたに役立つ質問かわかりません。

H_{T M, ε}

$H_{\mathrm{TM},\varepsilon}$

H_{T M, ε}

$H_{\mathrm{TM},\varepsilon}$

— ラファエル

@Raphael：は、セットの和集合ですは正の整数です。したがって、は「再帰的に列挙可能な決定可能な集合の和集合」です。

H_{T M, ϵ}

$H_{\mathrm{TM},\epsilon}$

{⟨ M ⟩ ∣ M is aTM that halts within t steps on ϵ input}

$\{\langle M\rangle \mid M \text{ is aTM that halts within } t \text{ steps on $\epsilon$ input}\}$

t

$t$

H_{T M, ϵ}

$H_{\mathrm{TM},\epsilon}$

@RickyDemer True、ありがとう。私の主張は、半決定的でない場合にのみ機能します（そうですか？）。

— ラファエル

回答:

決定者TMを見つける一般的な方法はありません $L_k$

は有限集合サブセットであり、有限であるため、が再帰的であるというのは正しいこと。 $L_k$ $\Sigma^k$

TMを見つけたい場合、いくつかの手法を提案します。これらのテクニックの詳細に触れずに、なぜうまくいかないのか、成功するチャンスはありません。 $L_k$

あなたは予告最初にすべきことは、有限の引数はサイダーTMが存在することを示していますということです言語の、それは、このTMが何であるかを教えてくれません。これは非建設的な証明の例です。決定者が存在することを証明しますが、それがどれであるかはわかりません。 $M_k$ $L_k$

さて、それを仮定し、与えられたは、プロシージャ持っているサイダー、このようなAを見つけるため言語に（それが存在することを証明するのではなく）。次に、任意のチューリングマシン与えられると、ような整数が存在するため、ます。次に、プロシージャを使用して、かどうかを判断できるディシダーTMを見つけることができます。したがって、TM が空の入力で停止するかどうかを決定する方法があります。そして、これはどんなTMでも機能します $k$ $\mathcal P(k)$ $M_k$ $L_k$ $M$ $k'$ $|\langle M\rangle|=k'$ $\langle M\rangle\in \Sigma^{k'}$ $\mathcal P$ $M_{k'}$ $\langle M\rangle\in L_{k'}$ $M$ $M$ 。ただし、指定されたTMが空の入力で停止するかどうかは決定できないため、これは不可能です。 $M$

したがって、プロシージャは存在できません。 $\mathcal P$

決定器TMを見つける一般的な方法を探しているので、その方法はなどの手続きになるため、成功することはできません。 $M_{k'}$ $\mathcal P$

この証明は、特定の値の決定者を見つける可能性を（非常に遠隔的に）残す可能性がありますが、関係する値を正確に識別する必要があり、メソッドがすべての値に対して機能しないことに注意してください。私はあなたに試すことを勧めません。 $k$ $k$

— バブー
ソース

したがって、基本的にそれが再帰的であることを確認する唯一の方法は、有限性引数を使用することですか？

— jon Prime

考えられる構成と状態の数についてそのような引数をいつ使用するかをよく理解していない顔のため、この方法でそれを証明しようとしました。たとえば、L100 = {<M> | イプシロン上のMはテープ上の100箇所を超えて使用しない}再帰的であることが証明されるには、TMを| Q |・100・| Gama | ^ 100 +1ステップ実行します。だから、誰かがそのような議論がいつ適切であるかを説明できますか-どのような種類の質問で、おそらくそのような議論が使用できるときと使用できないときのいくつかの例？

— ジョンプライム

結果を証明する方法が1つしかないとは決して言えないでしょう。私が言えることは、すべての価値のために機能する証明は

k

$k$ 決定的なTMが何であるかを教えてくれるわけではありません。

— バブー2015

あなたの試みに関して、それは少し混乱しています。「M」のサイズは、プログラムのテキストのサイズと同じです。プログラムが実際に使用するメモリ量とは無関係です。TMの場合、それは実際には非常に抽象的な意味でのTMの説明であるため、非常に短い説明は非常に複雑なTMに対応できます。サイズ

k

$k$ 使用されているメモリの量はわかりません。メモリのサイズに基づく引数はより複雑（構成の指数数）であり、メモリのサイズに制限がある必要がありますが、ここではそうではありません。

— バブー2015

一般的な建設的証明は、計算可能な（！）手続きを誘導する必要はありません。

P

$\mathcal{P}$ 。たとえば、正規証明はある意味で建設的です：テーブルルックアップ、つまりすべての入力の結果をハードコード化

L_{k}

$L_k$ 。もちろん、このテーブルを作成するためのアルゴリズムはありません（無限に

k

$k$ ）あなたが言及する理由のため。

— ラファエル

ビジービーバー機能を使用して証明を「修正」できます。しましょう $B_k$ 記述サイズのチューリング機械が最大であるステップの最大数であること $k$ 空の入力が与えられると、停止する前に実行します。あなたが知っていれば $B_k$ （または単に上限 $B_k$ 、つまり、一部 $T_k \geq B_k$ ）その後、記述サイズのチューリングマシンの停止問題を解決できます $k$ （および空の入力）与えられたマシンを最大 $B_k$ （または $T_k$ ）手順。その時点までに停止しない場合は、停止することはありません。

停止問題は決定可能ではないので、関数 $B_k$ 計算できません。確かに、計算可能な関数はありません $T_k$ 満たす $T_k \geq B_k$ すべてのために $k$ 。つまり、計算可能な関数 $f(k)$ 、それはその場合です $B_k > f(k)$ 無限に多くの $k$ 。大ざっぱに言えば、 $B_k$ すべての計算可能な関数よりも速く成長します。

実際、対角化を使用すると、 $B_k$ すべての計算可能な関数よりも速く成長します：すべての計算可能な $f(k)$ が存在します $K$ そのような $B_k > f(k)$ すべてのために $k \geq K$ 。これは最初にラドーによって証明されました。

— ユヴァルフィルムス
ソース

確実にループに入る前にサイズのTMが取ることができる最大ステップ数を見つけることは、まさに私が証明するのに骨の折れるものでした-TMはサイズKなので、TMが持つことができる状態の最大数よりも、エンコードは2 ^ kであり、私のロジックは（そして私が間違っているかどうかを教えてくれます）-特定の入力で、m状態のTMが少なくともm + 1移動（つまり、状態を繰り返す）した場合、それは確実にループします。

— scifie 2015

そして、最大でkの記述サイズのチューリングマシンが停止する前に実行する最大ステップ数を見つけるという提案に関して、私が提案したように、数は2 ^ kであると想定されていませんか？

— scifie 2015

残念ながらあなたは間違っています。書き込んだ内容は有限オートマトンには当てはまりますが、テープを含む状態のチューリングマシンには当てはまりません。チューリングマシンを構築するための演習として使用してください

n

$n$ 後に停止する状態

2^{2^{n}}

$2^{2^n}$ 手順（おおよそ）。

— Yuval Filmus

@ Yuval Filmus、それは間違いです-TMの状態はテープとは関係ありません。TMの状態はQで示され、有限集合です。テープにどのように接続されていますか？テープは入力操作用であり、TMの状態の一部ではありません。

— scifie 2015

@scifie状態には、マシンの現在の状況を説明するために必要なすべてのものが含まれます。これには、適切な状態（参照する内容）、ヘッドの場所、およびテープの内容が含まれます。

— Yuval Filmus

中核となる誤りは、TMが（終了前の）ランタイムを何らかの方法で制限している状態の数を想定していることです。これは誤りです。

典型的な例として、適切な入力が与えられた場合、任意の長い実行の高速終了からループまで、あらゆる動作を示すことができる有限に記述されたTMである、ユニバーサルチューリングマシンがあります。

テクニカルノートでは、ユニバーサルTMは通常、2つのパラメーター、1つのTMエンコーディングとそれをシミュレートする入力を取ると説明されています。それらを1つのパラメータにマージするのは簡単なので、実際には単項ユニバーサルTMがあります。

より具体的には、エンコードされたTMの入力を無視します。これは、任意に大きく（かつ複雑に）なる可能性があります。TMの実際の状態は、制御状態とテープの内容の積であるため、制御状態の数だけに基づく単純な組み合わせの議論だけでは十分ではありません。特に、TMがある状態に2回目にアクセスしたときに、TMが回避不能なループに入っていない。

— ラファエル
ソース

ええ、固定（空の）入力のみを考慮しているので、ここでは私の答えは当てはまりません。この場合、ランタイムは制限されています。ユヴァルの答え。

— ラファエル

テーブルルックアップを使用しない有限のホールティング問題スタイルセットの決定可能性の建設的な証明

決定者TMを見つける一般的な方法はありませんLkLkL_k

決定者TMを見つける一般的な方法はありません $L_k$