順序付け前、順序付け、順序付けのどの組み合わせがユニークですか？

私たちは、予約注文を知っています、

post L(x)     => [x]
post N(x,l,r) => (post l) ++ (post r) ++ [x]

先行予約

pre L(x)     => [x]
pre N(x,l,r) => [x] ++ (pre l) ++ (pre r)

順序通りのトラバーサル応答。順次化。

in L(x)     => [x]
in N(x,l,r) => (in l) ++ [x] ++ (in r)

ペアごとに異なるキー/ラベルを想定していても、どちらも特定のツリーを一意に記述していないことは簡単にわかります。

そのために3つのどの組み合わせを使用できますか。

肯定的な答えには、ツリーを再構成するための（効率的な）アルゴリズムと、それが正しい理由の証明（アイデア）が含まれている必要があります。負の答えは、反例、つまり、同じ表現を持つ異なるツリーを提供する必要があります。

まず、すべての要素が異なると仮定します。要素を持つツリーの形を伝えることはありません[3,3,3,3,3]。もちろん、重複した要素を持ついくつかのツリーを再構築することは可能です。十分な条件が存在するかどうかはわかりません。

否定的な結果を続けると、事前順序付けと事後順序付けのみからバイナリツリーを完全に再構築することはできません。[1,2]プレオーダー、[2,1]ポストオーダーは1ルートにある必要2がありますが、左の子でも右の子でもかまいません。このあいまいさを気にしない場合は、次のアルゴリズムを使用してツリーを再構築できます。

• ましょうプリオーダートラバースすること[ Y 、N、... 、Y 1 ]帰りがけ順です。x 1 = y 1である必要があり、これがツリーのルートです。$[x_1,\dots,x_n]$$[y_n,\ldots,y_1]$$x_1=y_1$
• はルートの一番左の子で、 y 2は一番右の子です。もし、X 2 = Y 2、ルートノードは単項です。[ x 2、… 、x n ]および [ y n、… 、y 2 ]を再帰処理して、単一のサブツリーを構築します。$x_2$$y_2$$x_2 = y_2$$[x_2,\ldots,x_n]$$[y_n,\ldots,y_2]$
• それ以外の場合、とjをx 2 = y iおよびy 2 = x jのようなインデックスにします。[ x 2、… 、x j − 1 ]は左サブツリーの事前順走査であり、[ x j、… 、x n ]右サブツリーの順走査であり、同様に後順走査です。左のサブツリーはj − 2 = n − i $i$$j$$x_2 = y_i$$y_2 = x_j$$[x_2,\ldots,x_{j-1}]$$[x_j,\ldots,x_n]$要素で、右のサブツリーには i − 2 = n − j + 1個の要素があります。サブツリーごとに1回再帰します。 ところで、このメソッドは、任意の分岐を持つツリーに一般化します。任意の分岐では、左のサブツリーの範囲を見つけて、両方のリストからその j − 2個の要素を切り取り、それから繰り返して左から2番目のサブツリーを切り取ります。$j-2=n-i+1$$i-2=n-j+1$
  $j-2$

前述のように、実行時間は、Θ （n 2）最悪の場合です（子が2人の場合、各リストを直線的に検索します）。それをO （$O(n^2)$$\Theta(n^2)$リストを前処理して nを構築する$O(n\,\mathrm{lg}(n))$要素値から入力リストの位置への有限マップ構造。また、配列または有限マップを使用して、インデックスから値に移動します。グローバルインデックスに固執すると、再帰呼び出しがマップ全体を受け取り、何を処理するかを知るための引数として範囲を取ります。$n\,\mathrm{lg}(n)$

事前順序走査および順序走査（[ z 1、… 、z n ]）を使用すると、次のようにツリーを再構築できます。$[x_1,\ldots,x_n]$$[z_1,\ldots,z_n]$

• ルートは、事前注文走査の先頭です。$x_1$
• ましょうインデックスようにすることのz K = X 1。その場合、[ z 1、… 、z k − 1 ]は左の子の順序走査であり、[ z k + 1、… 、z n ]は右の子の順序走査です。要素の数だけ進むと、[ x 2、… 、x k ]は左の子と[ x $k$$z_k = x_1$$[z_1,\ldots,z_{k-1}]$$[z_{k+1},\ldots,z_n]$$[x_2,\ldots,x_k]$右の子のそれ。再帰的に左および右のサブツリーを構築します。$[x_{k+1},\ldots,x_n]$

繰り返しますが、このアルゴリズムはとおりO （n 2）であり、O （$O(n^2)$リストが値から位置への有限マップに前処理される場合。$O(n\,\mathrm{lg}(n))$

ポストオーダーとインオーダーはもちろん対称です。