対応する言語クラスがCFLを含み、モデル内の非決定性を許可しない（無効にする）オートマトンモデルの最小クラス

以下からのコメント、興味深い質問がポップアップ。CFLのクラス（PDAによって認識される言語）は、非決定性の下では明らかに閉じられていません。つまり、これは、決定論的PDAは非決定論的PDAと同等ではないということです。

ただし、すべてのCFLは決定可能であり、この場合、決定論的TMのパワーは非決定論的TMと同等です。

さて、これは大きなギャップです-非決定論の下で閉じられるCFLの「上」の最小の言語は何ですか？

PDAの概念は、$S(n)$ 補助プッシュダウンオートマトン（$S(n)$-AuxPDA）。それはで構成されています

1. エンドマーカーで囲まれた読み取り専用の入力テープ
2. 有限状態制御
3. 長さの読み書き可能な記憶テープ $S(n)$、 どこ $n$ 入力文字列の長さであり、
4. スタック

「Hopcroft / Ullman（1979）Introduction to Automata Theory、Languages、and Computation（1st ed。）」では、次のことがわかります。

定理14.1以下は、$S(n)\geq\log n$。

1. $L$ 確定的に受け入れられる $S(n)$-AuxPDA
2. $L$ 非決定論的に受け入れられる $S(n)$-AuxPDA
3. $L$ にあります $\operatorname{DTIME}(c^{S(n)})$ 一定の $c$。

驚くべきことに：

当然の結果 $L$ にあります $\mathsf P$ もしそうなら $L$ によって受け入れられます $\log n$-AuxPDA。

証明は次の3つの部分で構成されます。（1）Lが非決定論的に受け入れられた場合 $S(n)$-AuxPDAと $S(n)\geq \log n$、その後 $L$ にあります $\operatorname{DTIME}(c^{S(n)})$ 一定の $c$。（2）もし$L$ にあります $\operatorname{DTIME}(T(n))$、その後 $L$ 時間内に受け入れられます $T^4(n)$（入力とは無関係に）非常に単純な前後ヘッドスキャンパターンを備えた確定的1テープTMによって。（3）もし$L$ 時間内に受け入れられます $T(n)$ （入力とは無関係に）非常に単純な前後方向のヘッドスキャンパターンを備えた確定的1テープTMにより、 $L$ 確定的に受け入れられる $\log T(n)$-AuxPDA。

パート（1）は基本的に「停止問題は決定可能である」という厳密な証明であり、操作の数は徹底的にカウントされました。パート（2）は、パート（3）のステージを準備する創造的なアイデアです。パート（3）は、タイムステップを追跡するために補助ストレージを使用します。これにより、非常に単純な前方後方のヘッドスキャンパターンと再帰的バックトラック用のスタックにより、ヘッド位置を再構築できます。

上記は、別の質問に対する回答の大部分のコピーです。それで、それは現在の質問にどのように答えますか？これは、考えられる最小のクラスではありません$\mathsf{CFL}$そして非決定論の下で閉じられます。しかし、それは非常によく知られたクラスです（つまり、$\mathsf P$）と、過去に徹底的に研究されてきた自然な機械モデルであり、LogCFLのコンテキストで現在も（追加のランタイム制限付きで）研究されています。確かに、LogCFLも非決定性の下で閉じられており、$\mathsf P$ に $\mathsf{CFL}$、上記のこと（つまり、 $\mathsf P$ = $\log n$-AuxPDA）は、この種の想像できる最小クラスではありません。