対角化に基づいて、停止問題の決定不能性の証拠を理解します（たとえば、Papadimitriouの教科書で与えられます）。

証明は説得力がありますが（各ステップを理解しています）、問題だけから始めて誰かがそれを導き出す方法がわからないという意味で、私には直感的ではありません。

本の中で、証拠はこのように書きます：「仮定入力上の停止問題解決、つまり、チューリングマシンかどうかを決定し入力のための停止。チューリングマシンの構築チューリングマシンとる入力としての、を実行し、出力を逆にします。」次に、が満足のいく出力を生成できないことを示します。 M ; x M x D M M H（M ; M ）D （D $M_H$$M;x$$M$$x$$D$$M$$M_H(M;M)$$D(D)$

一見arbitrary意的な構成、特にを自分自身に送り、次にを自分自身に送り込むという考えが、直観を持ちたいと思っています。そもそもなぜこれらの構成要素と手順を定義するようになったのですか？M $D$$M$$D$

そもそもそのタイプの議論を知らなかった場合、誰かが対角化議論（または他の証拠）にどのように推論するかについての説明はありますか？

回答の最初のラウンドを与えられた補遺：

したがって、最初の答えは、停止問題の決定不能性を証明することは、カンターとラッセルの以前の仕事と対角化問題の開発に基づくものであり、「ゼロから」開始することは単にその議論を再発見することを意味することを指摘しています。

けっこうだ。しかし、対角化の議論を十分に理解されているものとして受け入れたとしても、それから停止する問題への「直観のギャップ」があることがわかります。実数の数え難さのカンターの証明私は実際にかなり直感的だと思う。ラッセルの逆説はさらにそうです。

私がまだ見ていないのは、誰かがの「自己適用」に基づいてを定義し、それからを自分自身に適用する動機付けになることです。これは対角化とはあまり関係がないようです（Cantorの議論にはそのようなものがなかったという意味で）。M M ; M $D(M)$$M$$M;M$$D$

PS

@babouは、自分よりも私を悩ませていることを要約しました。「証明の多くのバージョンの問題は、構造が魔法の帽子から引っ張られているように見えることです。」

編集では、次のように記述します。

私がまだ見ていないのは、誰かがの「自己適用」に基づいてを定義し、それからを自分自身に適用する動機付けになることです。これは対角化とはあまり関係がないようです（Cantorの議論にはそのようなものがなかったという意味で）。M M ; M $D(M)$$M$$M;M$$D$

チューリングの証明の一般的な「一般的な」要約は、次のようなものになります。

「別のチューリングマシンが停止するかどうかを判断できるマシンがある場合、これを使用して、チューリングマシン与えられた場合にが停止しない場合にのみ停止する別のマシンを構築できます。をそれ自体への入力として渡し、逆説を取得します。このマシンは、停止しなかった場合にのみ停止します！」 D M M $M_H$$D$$M$$M$$D$

さて、上記の要約が重要な詳細を説明しているのは簡単にわかります。チューリングマシン停止は、指定されていない入力にも依存します。しかし、この問題は簡単に十分に固定することができます。私たちは持っている必要がありますいくつかの適切な入力選ぶ各入力機用にそれらの両方を渡す前に、。D x M M M $M$$D$$x_M$$M$$M_H$

最終的に矛盾を導き出したい、に適した選択肢は何ですか？さて、自然な選択は、上記の "handwavy"証明によって直接示唆されており、マシンを実行することによって最終的に矛盾を取得します。$x_M$$D$

したがって、この場合にの振る舞いが本当に逆説的であるため、つまりとして呼び出された場合、停止はとして呼び出されたときのの振る舞いに依存します。このように、設定することにより、必要な矛盾を取得します。D （D ）D （M ）M M （M ） M = $D$$D(D)$$D(M)$$M$ $M(M)$$M = D$

気を付けて、これが唯一の選択肢ではありません。たとえば、（）ではなく）が停止しない場合にのみ停止するようにマシン構築することにより、同じ矛盾を導き出すこともできます。しかし、マシンがに渡す前に入力を簡単に複製できることは明らかですが、入力として独自のコードでを呼び出すマシンを構築する方法はそれほど明白ではありません。したがって、この使用しての代わりに不証拠を複雑にし、それはあまり直感的になるだろう。D ′（M ）M （D ′）M （M ）D M H D ′ M H D ′$D'$$D'(M)$$M(D')$$M(M)$$D$$M_H$$D'$$M_H$$D'$$D$

「単純な」文脈において、誰かが前の時点で同様の議論をすることなく、この議論への道を推論すると考えるのは間違っているかもしれません。

チューリングは、実数の数え難しさのカンターの対角化の証拠を知っていたことを思い出してください。さらに、彼の作品は、ラッセルのパラドックス（対角化引数を使用）とゲーデルの最初の不完全性定理（対角化引数を使用）を含む数学の歴史の一部です。実際、ゲーデルの結果は、ホールティング問題の決定不能性の証明と深く関係しています（したがって、ヒルベルトのEntscheidungsproblemに対する否定的な答え）。

だから私の質問は、あなたの質問はある意味でひどく根拠があり、最初に残り（または非常に類似したもの）を通過せずに停止問題に到達できないということです。歴史を経ることなくこれらのことを生徒に示しますが、もしあなたが働く数学者であれば、何もせずにチューリングマシンに行くことはまずないようです-それらのすべてのポイントは計算を形式化することでした、多くの人が抱えていた問題その時点で何十年も取り組んでいます。

カントールは、現実の不可算性の最初の証明で対角化さえ使用しませんでした。出版日をアイデアを考えたときの近似として（必ずしも信頼できるものではない）、私たちがすでに知っているから約17年かかりました対角化の議論を解決するために、実数は数え切れないほどだった。

あなたが言及する証拠の「自己適用」に関して、これはラッセルのパラドックス（完全に自己参照に依存する）の不可欠な部分でもあり、ゲーデルの最初の不完全性定理はラッセルのパラドックスの強力なバージョンのようなものです。 。停止問題の決定不能性の証拠は、ゲーデルの研究によって非常に知らされているので、それなしでそこに到達することを想像するのは困難です。したがって、「自己適用」のアイデアは、停止問題に到達するために必要な背景知識の一部です。同様に、ゲーデルの作品はラッセルのパラドックスを作り直したものであるため、他のものなしではそこに到達することはできません（ラッセルはこのようなパラドックスを最初に観察したわけではないことに注意してください。そのため、対角化の議論のプロトタイプは、 600BCE）。チューリングとゲーデルの両方の作業（ここで説明している部分）は、自己参照の問題、およびそれが数学にどのように組み込まれているかを示すますます強力なデモンストレーションと見なすことができます。繰り返しますが、チューリングがそれらを扱っているレベルのこれらのアイデアが来たことを示唆することは非常に困難です先験的に、それらは哲学、数学、論理の一部におけるミレニアの仕事の集大成でした。

この自己参照もカントールの議論の一部であり、チューリングのより根本的に論理的な作品のような不自然な言語では提示されません。Cantorの対角化は、セットのべき集合（本質的にCantorの定理の一部）からの要素の選択として言い換えることができます。（正の）実数のセットを自然のサブセットと見なした場合（これが機能するために数字を順序付ける必要はないことに注意してください、それは単に単純なプレゼンテーションを作成するだけです）、自然からの推測があると主張しますこの要素を自分自身ではない自然の集合とみなすことにより、射影のイメージにない（したがって矛盾を導出する）べき集合の要素（つまり実数）を生成できます。射影の下の画像。このように表現したら、

自己申請は証明に必要な要素ではありません

一言で言えば

停止の問題を解決するチューリングマシンがある場合、そのマシンから、チューリングマシンの停止動作ではない停止動作（停止特性関数）を持つ別のチューリングマシンを構築できます。$H$$L$

自己適用関数（この回答ではと呼ばれます-表記の不整合についてごめんなさい）に基づいて構築されたパラドックスは、証明の必要な構成要素ではありませんが、建設の目的」。それがおそらく直感的でない理由です。$D$$L$

各チューリングマシンに関連付けられた特徴的な停止機能として定義できる、数え切れないほどの数の停止動作（チューリングマシンのみ）があることを示すことは、より直接的に思えます。リストにない特徴的な停止機能を建設的に定義し、それから、および 停止問題を解決するマシン、その新しい特性停止機能を持つマシンから構築できます。しかし、構造上、チューリングマシンの特徴的な停止機能ではないため、は1にはなりません。はチューリングマシン構築手法を使用してから構築されるため、はチューリングマシンにはなれません。$H$$L$$L$$L$$H$$H$

多くの証明で使用されている自体への自己適用は、矛盾を示す方法です。ただし、チューリングで許可された特性停止関数のリストの対角線から不可能な特性停止関数が構築された場合にのみ機能します。この対角線を反転（と交換）します。しかし、新しい特性停止機能を構築する方法は他にも無限にあります。そうすれば、嘘つきのパラドックスで非チューリング性を証明できなくなります（少なくとも単純ではありません）。自己アプリケーションの構築は必須ではないため直感的ではありませんが、魔法の帽子から引き抜かれると滑らかに見えます。$L$$0$$1$

基本的に、は最初からチューリングマシンの停止動作を持たないように設計されているため、チューリングマシンではなく、より直接的に、したがってより直感的に表示できます。$L$

注：不可能な特性停止関数の建設的な選択については、対角になるようにチューリングマシンの列挙の計算可能な並べ替えがある可能性があります（わかりません）。しかし、これは、自己適用がより直感的で興味深い事実を隠している間接的な証明技術であるという事実を変えるものではありません。

証拠の詳細な分析

私は歴史的になるつもりはありません（しかし、そういう人たちのおかげで、私はそれを楽しんでいます）が、私は直感的な側面を働かせようとしています。

私はと思いプレゼンテーション与え@vzn私は長い時間前に出会いをした、（私は忘れていた）、実際にはかなり直感的であり、さらに名前の対角化を説明しています。@vznがそのシンプルさを十分に強調していなかったと感じるため、詳細に繰り返します。

私の目的は、Cantorのことを知って、証明を取得する直観的な方法を持つことです。証明の多くのバージョンの問題は、構造が魔法の帽子から引き出されているように見えることです。

私が出した証拠は質問とまったく同じではありませんが、見る限りでは正しいです。間違いを犯さなかった場合は、数年も経てないうちに検索できるので、非常に直感的で、非常に異なる問題に取り組んでいます。

（Cantor）のサブセットの場合$\mathbb N$

カントールの証拠は、整数の部分集合の列挙があること（それが唯一の仮説である）を前提となるように、すべてのそのようなサブセット、その特性関数によって記述することができるであり、であれば 及びそれ以外の場合はです。$S_j$$C_j(i)$$1$$i\in S_j$$0$

これは、ようなテーブルとして見ることができます$T$$T[i,j]=C_j(i)$

次に、対角を考慮して、我々は、特性関数構築 その結果を、すなわち、それは他の値に反転すべてのビットを有するテーブルの対角線と同じです。$D$$D(i)=\overline{T[i,i]}$

対角線には特別なものはありませんが、他のすべてとは異なる特性関数を取得する簡単な方法であり、必要なのはそれだけです。$D$

したがって、特徴付けられるサブセットを列挙に含めることはできません。それはあらゆる列挙に当てはまるため、すべてのサブセットを列挙する列挙は存在できません。$D$$\mathbb N$

最初の質問によると、これは確かに直感的です。停止する問題の証拠を直観的に作成できますか？

停止問題のケース（チューリング）

チューリングマシンの列挙があると仮定します（可能なことはわかっています）。チューリングマシンの停止動作、その特徴的な停止作用によって説明することができるである場合 入力に停止となるそうでありません。$M_j$$H_j(i)$$1$$M_j$$i$$0$

これは、ようなテーブルとして見ることができます。$T$$T[i,j]=H_j(i)$

次に、対角を考慮して、我々は特性停止機能構築 その結果を、すなわち、それは他の値に反転すべてのビットを有するテーブルの対角線と同じです。$D$$D(i)=\overline{T[i,i]}$

対角線には特別なものはありませんが、他のすべてとは異なる特徴的な停止関数を取得する簡単な方法であり、必要なのはそれだけです（下部の注を参照）。$D$

したがって、によって特徴付けられる停止動作は、列挙内のチューリングマシンの停止動作になることはできません。それらをすべて列挙したので、その動作をするチューリングマシンはないと結論付けます。$D$

これまでのところ、神託を停止することも、計算可能性の仮説もありませんと関数計算可能性については何も知りません。$T$$H_j$

常に結果として停止するように、停止問題を解決できるチューリングマシンがあるとします。$H$$H(i,j)$$H_j(i)$

与えられると、特徴的な停止関数を持つマシンを構築できることを証明したいと思います。マシン はとほぼ同一であるため、は模倣 しますがが値で終了しようとするときは常に、は無限ループに入り、終了しません。$H$$L$$D$$L$$H$$L(i)$$H(i,i)$$H(i,i)$$1$$L(i)$

が存在する場合、このようなマシン構築できることは明らかです。したがって、このマシンは、すべての マシンの最初の列挙に含まれている必要があります（可能なことがわかっています）。しかし、その停止動作は列挙されたマシンのいずれにも対応しないため、そうすることはできません。マシンは存在できません。つまり、は存在できません。$L$$H$$D$$L$$H$

_{私は意図的に最初の証明をまねて、細部にまで踏み込んだ}

私は、特にカントールの証明が合理的に直感的であると考える場合、このように自然にステップが来ると感じています。

最初に訴訟の構成要素を列挙します。それから、対角線を取り、それらすべてに触れて行動に責任を負わない便利な方法として修正し、次に、行動に責任を負わないオブジェクトを示すことによって矛盾を取得します...何らかの仮説が真実である場合： Cantorの列挙、およびTuringの計算可能な停止オラクルの存在。

注：関数定義する我々が記載されているすべてのものとは異なる他の特性停止機能によって反転対角を置き換えることができ、（に列挙されたものから計算され、など）停止Oracleが利用可能で提供します。それから、機械 はそれに応じて構築され、を特徴的な停止関数として持つ必要があり、は機械を利用しますが、直接模倣しません。対角線を選択すると、はるかに簡単になります。$D$$T$$T$$L$$D$$L(i)$$H$$H(i,i)$

「他の」証明との比較

ここで定義されている関数は、明らかに、問題で説明されている証明の関数に類似 しています。$L$$D$

チューリングマシンに対応しない特徴的な停止機能を持つように構築するだけで、そこから直接矛盾が生じます。これにより、対角線を使用しない自由度が得られます（価値があるため）。

「通常の」証拠という考えは、私が死んだ魚と見ているものを殺そうとしているようです。それは言います：がリストされたマシンの1つ（すなわち、それらのすべて）であると仮定しましょう。次に、その列挙にインデックスがあります：。次に、停止すると、 になり、が構築によってループします。逆に、が停止しない場合、 ため、は構築によって停止します。したがって、矛盾があります。しかし、矛盾は、特徴的な停止関数の方法に起因します。$L$$j_L$$L=M_{j_L}$$L(j_L)$$T[j_L,j_L]=H(j_L,j_L)=1$$L(j_L)$$L(j_L)$$T[j_L,j_L]=H(j_L,j_L)=0$$L(j_L)$$L$はチューリングマシンの特徴ではない特徴的な停止機能を持つように構築されているため、チューリングマシンにはなり得ないと言うだけの方がはるかに単純です。$L$

サイドポイントは、対角線を選択しなかった場合、この通常の証明ははるかに苦痛になることですが、上記で使用した直接的なアプローチでは問題はありません。それが役立つかどうかはわかりません。

ラン・ラズから聞いた、ベリーのパラドックスとは異なるパラドックスを使用しているこの事実の証拠もあります。

停止の問題が計算可能であったと仮定します。LET長さのCプログラムによって計算することができない最小の自然数である。つまり、が長さ Cプログラムによって計算された自然数のセットである、はない最小の自然数です。$B(n)$$n$$S(n)$$n$$B(n)$$S(n)$

次のプログラムを検討してください。

1. 長さが最大すべてのCプログラムをます。$n$

2. そのようなプログラムごとに、停止するかどうかを確認します。存在する場合、リスト追加します。$L$

3. ない最初の自然数を出力します。$L$

これはを計算するためのプログラムです。このプログラムはどれくらいの大きさですか？エンコードは文字を取り、プログラムの残りの部分はに依存しないため、合計で長さは、最大でます。選択して、ます。そして、その長さが最大である我々のプログラム、、計算定義矛盾、。$B(n)$$n$$O(\log n)$$n$$O(\log n)$$C\log n$$N$$C\log N \leq N$$N$$B(N)$$B(N)$

KritchmanとRazが示すように、同じ考えを使用してゲーデルの不完全性定理を証明できます。

ここには、より直感的な「再帰定理」と呼ばれるより一般的なアイデアがあります。チューリングマシンは独自の記述を使用することができます（したがって、それ自体を実行できます）。より正確には、定理があります：

チューリングマシンについてTは、R計算するチューリングマシンがありR(x) = T(R;x)ます。

停止の問題を解決できるチューリングマシンがあれば、上記のアイデアを使用して、さまざまな「嘘つき」チューリングマシンを簡単に構築できます。たとえば、Pythonのような表記法、

def liar():
    if halts(liar):
        return not liar()
        # or we could do an infinite loop
    else:
        return True

より複雑な議論は、本質的に、再帰定理に訴えることなくこれを直接やろうとすることです。つまり、「自己参照」機能を構築するためのレシピを繰り返しています。たとえば、チューリングマシンが与えられた場合T、R満足のいくものを構築するためのそのようなレシピの1つです。

R(x) = T(R; x)

まず、定義する

S(M; x) = T(M(M; -); x)

ここでM(M; -)、私が本当に意味するのは、（の説明を使用してM）計算し、入力時yにを評価するチューリングマシンの説明をプラグインすることM(M; y)です。

今、私たちはSそれ自体にプラグインすると

S(S; x) = T(S(S; -); x)

必要な複製を取得します。だから私たちが設定した場合

R = S(S; -)

その後、私たちは持っています

R(x) = T(R; x)

望んだ通りに。

チューリング証明は、実数のカーディナリティ（「数えられない」）が有理数のカーディナリティ（「数えられる」）よりも大きいというカントールの証明に非常に似ています。非常に多くの参照（誰か知っていますか？）。（iirc）CS教授がこの数年前にクラスで一度見せた（自分でどこで手に入れたかわからない）。Cantorsの証明では、セットの水平方向の次元がn ^番目の桁で、垂直方向の次元がn ^番目の数字であるグリッドを想像できます。

チューリング停止証明構造は、テーブルの内容が1/0の代わりにHalt / Nonhaltであり、横軸がn ^番目の入力で、縦軸がn ^番目のコンピュータープログラムであることを除いて、非常に似ています。言い換えれば、コンピュータープログラムと入力の組み合わせは数えられるが、無限のテーブル/配列は、停止する検出器マシンが存在すると仮定して停止を非停止ケースに「反転」することができるユニバーサルマシンシミュレーター構造に基づいて数えられない（したがって、reductio ad absurdam） 。

チューリングが部分的にカントールの構造を念頭に置いていたという証拠は、彼の同じ証拠が計算可能な数字についての計算可能な数字について（実際の数字に沿って）話しているということです。

この時点で、計算可能性の基本的な結果の共同発見者であると正当に評価されているエミール・ポストの作品に注目する価値がありますが、悲しいことに、Entscheidungs問題の解決策の共同発見者と見なされるには遅すぎて公開されました。彼は確かに、いわゆる教会チューリングの論文の精緻化に参加しました。

ポストは、非常に哲学的な考慮事項、つまり、計算する能力、または一貫した方法で正確な回答を得る能力の理論的制限によって動機付けられました。彼は現在、ポスト正準システムと呼ばれるシステムを考案しましたが、その詳細は重要ではなく、シンボルの操作によって簡単に解決できる問題を解決するために使用できると主張しました。興味深いことに、彼は精神状態を明示的に「記憶」の一部であると明示的に考えていたため、少なくとも彼の計算モデルは全体として人間の思考のモデルであると考えていたようです。

Entscheidungsproblemは、Principia Mathematicaのシステムで表現可能な命題の定理を決定するために、そのような計算手段を使用する可能性を考慮します。しかし、PMは数学的な推論のすべてを表現できるように明示的に設計されたシステムであり、拡張により（少なくとも当時、論理主義がまだ流行していたときは）人間の推論のすべてを表現できます！

したがって、フレーゲ、ラッセル、世紀の変わり目の論理学者の作品を通して人間の心が推論学部に注意を向けたように、そのようなシステムの注意をポスト正準システム自体に向けることは非常に驚くべきことではありません人間の心そのものの。

したがって、この時点で、自己参照、またはシステムが自分自身を記述する能力は、1930年代初期のかなり自然な主題であったことが明らかです。実際、David Hilbertは、人間の数学のすべての形式的な記述を提供することで、数学的な推論自体を「ブートストラップ」したいと考えていました。

正式なシステムを使用してそれ自体について推論するステップが得られたら、それはホップであり、通常の自己参照パラドックス（かなり古い歴史があります）から飛び去ります。

Principiaのすべての記述は、形而上学的な意味で「真」であると推定されているため、Principiaは

プログラムpはtrue入力時に結果を返しますn

そのシステムのすべての定理を決定するプログラムが存在する場合、嘘つきのパラドックスを直接表現するのは非常に簡単です。

このプログラムは常に存在します。

で表すことができます

プログラムpは、数学の原理が返すとは反対の結果を常に返しますp。

難しさは、プログラムを構築することですp。しかし、この時点で、より一般的な文を考慮することはかなり自然です

プログラムはp常に、PMが返すことの反対を返しますq。

いくつかの任意のq。しかしp(q)、どのようにでも簡単に構築できますq！PMが出力すると予測するものを計算し、反対の答えを返します。私達はちょうど交換することはできませんqでpあるため、かかわらず、この時点でpかかるq入力として、及びq（それは入力を取らない）しません。入力をp 行うように文を変更しましょう。

プログラムpは、PM q(r)が返すと言っているものの反対を返します。

あら！しかし、今でpは2つの入力を取ります：qとr、一方q1だけを取ります。しかし、待ってください：pとにかく両方の場所で欲しいのでr、新しい情報ではなく、同じデータ、つまりq！これは重要な観察です。

だからついに

プログラムpは、PM q(q)が返すと言っているものの反対を返します。

この愚かな「PMが言う」ビジネスを忘れてしまえば、

プログラムp(q)は、返されるものの反対を返しますq(q)。

これは合法的なプログラムです。ただし、何q(q)が返されるかを常に通知するプログラムがある場合に限ります。しかし、今、我々は我々のプログラムを持っていることをp(q)、私たちは置き換えることができますqによってp、私たちの嘘つきのパラドックスを取得します。