マンデルブロ集合はどのような意味で「計算可能」ですか？

マンデルブロ集合は数学の美しい生き物です。

このセットには多くの美しい画像が高精度で作成されているため、明らかにこのセットはある意味で「計算可能」です。

しかし、私が懸念するのは、それが再帰的に列挙可能でさえないという事実です-単にセットが数えられないからです。これは、ある種の点の有限表現を要求することで解決できます。

さらに、多くのポイントがセットに属し、他のポイントはセットに属さないことは確かですが、セットのメンバーシップがわからない多くのポイントもあります。これまでに見てきたすべての画像には、「最大n回の反復がバインドされている」多くのポイントが含まれている場合がありますが、それらのポイントは実際にはセットに属しません。

そのため、プレゼンテーションが有限である特定のポイントに対して、「このポイントはセットに属しますか？」という問題が発生します。私が正しいなら、まだ決定可能であると証明されていません。

さて、どのような意味で（どの定義によって）マンデルブロ集合が「計算可能」であると言えますか？

マンデルブロ集合が計算可能になることの意味を定義する方法はいくつかあります。1つの可能な定義は、Blum–Shub–Smaleモデルです。このモデルでは、実際の計算はRAMマシンに似たマシンによってモデル化され、その実数へのアクセスは基本的な算術演算と比較に制限されています。BlumとSmaleは、マンデルブロ集合はこのモデルでは計算できないことを示しましたが、その補完は、描画に使用される従来のアルゴリズムを使用して再帰的に列挙できます。

もう1つのモデルは計算可能解析です。Hertlingが示すように、マンデルブロ集合はおそらく計算可能です（広く信じられている予想、双曲的予想の条件付き）。このモデルでは、マンデルブロ集合の計算とは、任意の精度内でマンデルブロ集合の近似値を計算できることを意味します（正確な定義については、計算可能な分析のリファレンスを参照してください）。

では、コンピューターがマンデルブロ集合を描画できるように見えるのはなぜですか？従来のアルゴリズムが機能することを示す主な難点は、ポイントがセットに属すると判断する前に実行する反復回数を事前に伝えることが難しいことです。Hertlingは、広く信じられている双曲的予想が成り立つ場合、合理的なそのような限界があることを示しています。おそらく、プログラムは単に十分な長さだけ待機します。または彼らは十分に長く待たないが、間違ったポイントのほんの一部を得る。

基本的に、マンデルブロ集合は計算できません（私たちが知る限り）。あなたが画像を見ているという事実は、それが計算可能であるという意味ではありません。これらの画像は近似を使用して計算しています。プロセスがヒューリスティックとして設定されたしきい値よりも長く実行される場合、コードは終了しないと想定します。このヒューリスティックは間違っている可能性があり、その結果、これらの画像は100％正確ではない可能性があります。言い換えれば、これらの写真はマンデルブロ集合のイメージではありません。それらは、マンデルブロ集合に近似しています。